단대동 고3 수학과외: 표본평균의 흩어짐을 정확히 읽는 연습
단대동에는 2025년 주소 기준 성보경영고등학교가 확인되며, 같은 수정구의 위례한빛고등학교·풍생고등학교·효성고등학교·복정고등학교는 참고 학교로 구분된다. 학교와 주거지 사이 이동 시간에 따라 공부 가능한 시간이 달라질 수 있어, 이 학생은 짧은 자습 시간에도 조건을 먼저 표시하는 방식으로 학습했다.
처음부터 잘못 잡은 표준편차
학생은 모집단의 평균을 μ, 모집단의 표준편차를 σ, 표본의 크기를 n이라고 두고 다음 문제를 풀었다.
모집단이 평균 70, 표준편차 12인 정규분포를 따른다. 크기 36인 표본의 표본평균이 따르는 분포를 구하라.
학생의 풀이에는 다음과 같이 적혀 있었다.
오답: X̄는 평균 70, 표준편차 12인 정규분포를 따르므로 X̄ ~ N(70, 122)
이 식은 틀렸다. 12는 개별 관측값의 표준편차인 모집단 표준편차이고, 표본평균의 표준편차는 표본 크기에 따라 줄어든다. 독립표본이고 모집단이 정규분포이므로
정확한 식: X̄ ~ N(μ, σ2/n) = N(70, 122/36) = N(70, 22)
따라서 표본평균의 표준편차는 12가 아니라 12/√36 = 2이다. 모집단의 분포와 표본평균의 분포를 구분하지 않은 것이 첫 번째 오류였다.
틀린 줄을 표시하고 조건부터 다시 확인하기
- 틀린 줄 표시: 표본평균의 표준편차를 12로 둔 부분에 밑줄을 긋는다.
- 관계 확인: 표본평균은 n개의 자료를 평균낸 값이므로 분산이 σ2에서 σ2/n으로 바뀐다.
- 식 수정: σ 대신 σ/√n을 대입하여 12/6=2로 계산한다.
- 검산: 표본 크기가 36에서 144로 네 배가 되면 표준오차는 2에서 1로 절반이 되어야 한다. 실제로 12/√144=1이므로 수정한 관계가 맞다.
신뢰구간에서도 같은 관계 적용하기
이어서 표본평균이 72이고 모집단 표준편차가 12일 때 모평균의 95% 신뢰구간을 계산했다. 표본 크기는 36이므로 표준오차는 2이다.
95% 신뢰수준에서 z값을 1.96으로 사용하면
72 ± 1.96 × 2 = 72 ± 3.92
따라서 신뢰구간은 68.08 ≤ μ ≤ 75.92이다. 학생이 표준편차 12를 그대로 사용했다면 72 ± 23.52가 되어 지나치게 넓은 구간이 나온다. 이는 계산 실수라기보다 모집단 표준편차와 표본평균의 표준오차를 구분하지 못한 결과다.
조건을 바꾼 독립 검증
학생은 같은 문제를 반복하지 않고 다음 조건을 새로 받아 해설 없이 풀었다.
모집단의 표준편차가 10이고 표본 크기가 64이다. 표본평균이 48.6일 때 모평균의 90% 신뢰구간을 구하라. 단, 모집단은 정규분포를 따르고 z=1.645로 둔다.
학생은 먼저 표본평균의 표준오차 후보를 10과 10/√64 중에서 비교한 뒤, 10/8=1.25를 선택했다. 따라서
48.6 ± 1.645 × 1.25 = 48.6 ± 2.05625
이므로 신뢰구간은 46.54375 ≤ μ ≤ 50.65625이다. 표준편차 10을 그대로 사용한 후보는 신뢰구간의 오차한계가 16.45가 되어 표본 크기 64의 정보량이 반영되지 않으므로 스스로 제거했다.