단대동 고2수학과외: 등비수열 일반항의 지수와 공비 조건 점검
등비수열의 일반항은 공식을 기억하는 것보다 그 공식이 성립하는 조건과 항번호의 차이를 먼저 판단해야 한다. 단대동에서 성보경영고등학교에 다니는 학생과 수정구 내 다른 학교를 참고하는 학생은 학교와 주거지 사이 이동 시간에 따라 풀이를 정리할 수 있는 시간이 다를 수 있지만, 답안에서 반드시 확인해야 할 수학적 기준은 같다.
공비를 적지 않은 채 일반항을 세운 풀이
예를 들어 등비수열 3, 6, 12, 24, ...에서 일반항을 구한다고 하자. 첫째항은 a₁=3, 공비는
r = 6 ÷ 3 = 2
이다. 따라서 n번째 항은 첫째항에서 n-1번 공비를 곱하므로
aₙ = a₁rⁿ⁻¹ = 3·2ⁿ⁻¹
가 된다. 그런데 풀이 여백에 공비를 표시하지 않고 오답표에
aₙ = a₁rⁿ
이라고 적으면 n=1일 때 a₁=a₁r가 되어 첫째항부터 맞지 않는다. 이 식은 첫째항이 아니라 공비를 한 번 더 곱한 항을 나타내는 형태다.
항번호 차이와 공비의 적용 범위
등비수열에서는 aₙ이 첫째항에서 공비를 몇 번 곱했는지를 보여준다. a₁에서 aₙ까지의 곱셈 횟수는 n-1번이므로
aₙ = a₁rⁿ⁻¹
이다. 이 공식은 n=1,2,3,...인 항번호에 적용한다. 또한 실제 수열의 공비를 사용하려면 인접한 항에서
aₙ₊₁ = aₙr
의 관계가 성립하는지 확인해야 한다. 예를 들어 r=0이면 첫째항 이후의 항이 모두 0이 되지만, a₁=0인 수열에서 연속한 항의 비로 공비를 구하는 방식은 사용할 수 없다. 따라서 문제에 주어진 항을 곧바로 나누기보다, 공비가 일정한지와 나눗셈이 가능한지를 함께 살펴야 한다.
오류가 시작된 지점에서 이어서 고치기
오답표에서 aₙ=a₁rⁿ을 발견했다면 문제 전체를 처음부터 다시 베껴 풀지 않는다. 지수가 결정되는 지점으로 돌아가 다음 한 줄을 먼저 적는다.
a₁ → a₂: r 1번, a₃: r 2번, aₙ: r n-1번
그 뒤 문제의 첫째항과 공비를 대입한다. 예를 들어 a₄=24인 위 수열에서는
a₄ = 3·2⁴⁻¹ = 3·2³ = 24
가 되어 주어진 항과 일치한다. 반면 잘못된 식은 3·2⁴=48을 만들므로 원래 수열과 맞지 않는다. 이처럼 오류가 시작된 ‘공비를 곱한 횟수’부터 이어서 수정하면 계산 전체를 반복하지 않고도 잘못된 지점을 확인할 수 있다.
기호를 바꾼 문항에서 다시 세우는 판단
다음 문항으로 풀이 순서를 확인한다.
b₁=5, b₃=45이고 양의 공비를 갖는 등비수열의 일반항을 구하여라.
학생이 먼저 적어야 할 것은 bₙ=b₁qⁿ⁻¹이다. b₃=5q²=45이므로 q²=9이고, 양의 공비 조건에 따라 q=3을 선택한다. 따라서
bₙ=5·3ⁿ⁻¹
이다. 마지막으로 n=3을 대입하면 b₃=5·3²=45가 된다. 기호가 a에서 b로, 공비가 r에서 q로 바뀌어도 첫째항, 공비, n-1이라는 구조를 스스로 적는지가 확인되어야 한다.