장지동 고2수학과외, 밑이 바뀌면 로그부등식의 해 범위도 다시 읽어야 합니다
log1/2x > log1/23을 보고 x>3이라고 적은 답안이 있었다. 진수 조건 x>0은 확인했지만, 밑 1/2가 0과 1 사이일 때 로그함수가 감소한다는 사실을 부등호에 반영하지 않은 것이다.
밑이 1/2일 때 부등호가 뒤집히는 이유
로그함수 y=logax는 밑에 따라 증가와 감소가 달라진다.
a>1이면 증가함수이므로 부등호 방향이 유지된다.0<a<1이면 감소함수이므로 부등호 방향이 바뀐다.
따라서
log1/2x > log1/23
에서는 먼저 진수 조건 x>0을 확인하고, 밑이 0<1/2<1이므로
x<3
을 얻는다. 최종 해는 0<x<3이다. 처음 답안의 x>3은 증가함수일 때의 방향을 그대로 적용한 오류다.
경계값과 해 범위를 분리해서 기록하기
계수와 부호가 함께 바뀐 문제에서는 다음과 같이 해석해야 한다.
-2log1/3(x-1) ≤ -2log1/34
-2로 나누면 부등호가 한 번 뒤집힌다.
log1/3(x-1) ≥ log1/34
밑 1/3은 1보다 작으므로 다시 방향이 바뀐다.
x-1 ≤ 4
진수 조건 x-1>0과 함께 정리하면
0<x-1≤4, 즉 1<x≤5이다.
이때 경계값 x=5를 원식에 넣으면 양변이 각각 -2log1/34가 되어 등호가 성립한다. 반면 x=1은 진수가 0이므로 포함할 수 없다.
조건·계산·검산 세 칸으로 오류 위치 찾기
장지동에서 문현고등학교의 수업과 방과 후 이동 뒤 자습 시간을 나누어 활용할 때도, 풀이를 길게 다시 쓰기보다 오류가 발생한 지점을 표시하는 방식이 효과적이다. 로그부등식 답안은 다음 세 칸으로 점검한다.
| 조건 | 계산 | 검산 |
|---|---|---|
밑>0, 밑≠1, 진수>0 |
밑이 1보다 작은지, 음수로 나누었는지 확인 | 경계값과 임의의 한 점을 원래 부등식에 대입 |
예를 들어 log1/2x>log1/23에서 x>3이라고 썼다면 계산 칸에 오류 표시를 한다. 조건 칸에는 x>0과 0<1/2<1을 다시 쓰고, 검산 칸에서 x=4를 대입한다.
log1/24= -2, log1/23은 약 -1.585이므로 -2>-1.585는 거짓이다. 따라서 x=4를 포함하는 x>3은 원래 부등식과 맞지 않는다.
문자와 계수를 바꾼 독립 확인
다음 문제에서는 같은 문자를 반복하지 않고 풀이 순서를 스스로 세운다.
log1/4(2t+1) < log1/49
먼저 진수 조건에서 2t+1>0, 즉 t>-1/2를 적는다. 밑 1/4은 1보다 작으므로 부등호가 뒤집혀
2t+1>9
가 된다. 따라서 t>4이고, 이는 진수 조건도 만족한다.
답은 t>4이다. 마지막에는 t=5를 대입해 원래 부등식이 성립하는지 확인하고, t=3을 대입해 해 범위 밖 값이 실제로 제외되는지도 확인한다.