장지동고1수학과외 | 절댓값 부등식의 해 모양 구분하기
문현고등학교를 오가는 장지동 고1 학생의 학교 프린트에서 다음 풀이가 눈에 띄었다.
|x-2|<3 이므로 x-2<3, 따라서 x<5
이 식은 오른쪽 조건만 사용한 풀이이다. 절댓값 부등식에서는 계산에 들어가기 전에 해가 가운데 구간인지, 양쪽으로 벌어진 구간인지부터 판단해야 한다. 장지동고1수학과외에서는 이 판단을 답안에 남기는 과정까지 확인한다.
작은 절댓값과 큰 절댓값은 해의 방향이 다르다
양수 a에 대하여
|x|<a는 x가 0에서 a보다 가까운 값이라는 뜻이므로 -a<x<a이다. 해는 수직선에서 가운데 구간으로 모인다.
반대로 |x|>a는 x가 0에서 a보다 먼 값이라는 뜻이므로 x<-a 또는 x>a이다. 해는 양끝으로 나뉜다.
예를 들어 |x+1|<4라면 -4<x+1<4를 세워서 -5<x<3을 얻는다. |x+1|>4라면 x+1<-4 또는 x+1>4이므로 x<-5 또는 x>3이다. 부등호 하나가 바뀌면 해의 모양도 완전히 달라진다.
계산 전에 빠진 한 줄을 답안에 표시하기
관찰된 답안에서는 |x-2|<3을 본 뒤 바로 x-2<3으로 바꾸었다. 이때 빠진 확인 위치에 다음과 같은 문장을 먼저 적게 한다.
|x-2|<3은 가운데 구간의 해이므로 -3<x-2<3
이제 양변에 2를 더하면 -1<x<5이다. 반면 같은 식이 |x-2|>3이었다면 해는 가운데가 아니라 바깥쪽이므로
x-2<-3 또는 x-2>3
에서 x<-1 또는 x>5가 된다. 학생이 두 경우를 구분하지 않고 동일한 모양으로 계산한 것이 오답의 직접적인 원인이다. 계산 실수라기보다 절댓값과 기준 거리의 관계를 해 집합으로 바꾸는 단계가 누락된 상태에 가깝다.
수직선으로 해의 모양과 식을 맞춰 보기
수직선에 기준점 -1과 5를 표시하면 |x-2|<3의 해는 두 점 사이이다. 양 끝점은 3보다 작은 조건이므로 열린 점으로 나타낸다.
|x-2|>3에서는 -1보다 작은 부분과 5보다 큰 부분을 색칠한다. 역시 등호가 없으므로 -1과 5는 포함하지 않는다. 이 시각적 확인은 부등호 방향을 잘못 선택했는지, ‘또는’를 빠뜨렸는지를 바로 드러낸다.
새 숫자에서 풀이 순서를 유지하는지 확인하기
수정 뒤에는 같은 식을 반복하지 않고 |2x-6|<8을 제시한다. 먼저 |2x-6|=|2(x-3)|이므로 |x-3|<4로 정리한 뒤, 가운데 해임을 표시한다.
-4<x-3<4
양변에 3을 더하면 -1<x<7이다. 이어서 |2x-6|>8을 풀 때는 |x-3|>4를 보고
x-3<-4 또는 x-3>4
이므로 x<-1 또는 x>7이라고 써야 한다. 새 숫자에서도 ‘해 모양 확인 → 식 변환 → 계산’ 순서가 유지되는지를 본다.
표현이 달라진 프린트에서 좌표 순서까지 점검하기
교과서와 표현이 다른 학교 프린트에서는 절댓값 부등식의 해를 수직선 대신 좌표평면의 점으로 나타내게 할 수 있다. 예를 들어 해가 -1<x<7이라면 수직선 위의 점을 (x, 0)으로 표시한다. 점의 좌표를 (0, x)로 쓰면 같은 수를 사용해도 다른 위치가 된다.
검증 문제에서 학생이 먼저 x좌표와 y좌표의 순서를 확인하고, 점 (4, 0)이 해에 포함되는지 살펴보게 한다. 4는 -1과 7 사이이므로 (4, 0)은 해를 나타낸다. 반대로 (0, 8)은 x좌표가 0이어서 해의 조건에는 맞지만, 수직선의 해를 좌표평면에 표시한 점으로는 올바른 표현인지 별도로 확인해야 한다.
새 조건에서 절댓값 부등식의 가운데·바깥 해를 먼저 구분하고, 이어 좌표의 순서와 점의 위치까지 스스로 검산한다면 빠졌던 확인 단계를 실제 풀이에 적용한 것으로 판단한다.