방이동 고3수학과외에서 그래프 개형을 다시 읽는 방법
방이동에는 보성고등학교, 방산고등학교, 창덕여자고등학교, 서울체육고등학교가 있고, 같은 송파구의 잠실여자고등학교는 참고 생활권으로 구분된다. 방이동대림아파트와 방이코오롱아파트 등에서 통학한 뒤 방과 후 자습 시간을 확보해, 학생은 풀이를 통째로 지우기보다 틀린 첫 지점을 찾아 다시 검산하는 연습을 진행했다.
도함수의 역할을 섞어 쓴 첫 오답
학생은 함수 f(x)=x³-3x²의 그래프 개형을 그리며 다음과 같이 적었다.
f′(x)=3x(x-2), f″(x)=6x-6
f″(x)<0인 x<1에서 함수가 감소하고, f″(x)>0인 x>1에서 증가한다.
이 식은 오답이다. f′의 부호는 함수의 증가와 감소를 결정하고, f″의 부호는 위로 굽는지 아래로 굽는지와 변곡점의 위치를 판단한다. 두 역할을 바꿔 사용한 것이 처음 어긋난 지점이다.
맞는 중간식은 남기고 관계를 다시 확인하기
학생은 다음 날 풀이 전체를 지우는 대신 왼쪽 여백에 오류 종류를 먼저 표시했다.
- 역할 오류: 증가·감소에 f″를 사용함
- 범위 확인: 임계점은 f′(x)=0에서 구함
- 부호 확인: 각 구간에 실제 값을 대입함
먼저 이미 맞은 미분식은 남겨 둔다.
f′(x)=3x²-6x=3x(x-2)
따라서 임계점은 x=0, 2이다. 구간별로 부호를 확인하면
- x<0에서 f′(x)>0이므로 증가
- 0<x<2에서 f′(x)<0이므로 감소
- x>2에서 f′(x)>0이므로 증가
그러므로 x=0에서 극대, x=2에서 극소이다. 함수값은
f(0)=0, f(2)=8-12=-4
이므로 극대점은 (0,0), 극소점은 (2,-4)이다.
한편
f″(x)=6x-6=6(x-1)
이므로 x<1에서는 아래로 굽고, x>1에서는 위로 굽는다. 변곡점 후보 x=1에서 f(1)=1-3=-2이므로 변곡점은 (1,-2)이다. 이렇게 증가·감소는 f′, 오목·볼록은 f″로 분리해야 그래프가 일관된다.
경계값을 넣어 그래프를 검산하기
학생은 그래프를 그린 뒤 임계점만 믿지 않고, 원점과 극소점의 함수값을 원래 식에 다시 대입했다.
f(0)=0, f(2)=-4이므로 극대와 극소의 높이가 뒤바뀌지 않았음을 확인했다. 또한 f(1)=-2는 두 극값 사이에 놓여 있어 변곡점의 위치도 그래프와 맞는다. 계산 중간식을 모두 지우지 않고, 틀린 항만 고친 뒤 대입과 부호표로 검산한 것이다.
조건을 바꾼 독립 검증
같은 문제를 반복하지 않고, 함수와 정의역을 바꾸어 g(x)=x³-6x²+9x, 0≤x≤4의 개형을 확인했다.
g′(x)=3x²-12x+9=3(x-1)(x-3)이므로 임계점은 x=1,3이다. 정의역 안에서 부호를 확인하면 증가 구간은 [0,1], [3,4], 감소 구간은 [1,3]이다.
또한
g″(x)=6x-12=6(x-2)
이므로 x=2에서 오목·볼록이 바뀐다. 경계값까지 계산하면
- g(0)=0
- g(1)=1-6+9=4
- g(3)=27-54+27=0
- g(4)=64-96+36=4
따라서 x=1은 극대, x=3은 극소이며, x=2는 극값이 아니라 변곡점이다. 계수와 경계가 바뀌어도 학생은 먼저 오류 종류를 분류하고, f′와 f″의 역할을 분리한 뒤 경계값과 함수값으로 개형을 검증했다.