방이동고2수학과외

방이동고2수학과외: 로그방정식의 해를 원식에서 검산하는 습관

방이동에서 학교 수업과 방과후 이동을 마친 뒤 확보한 자습시간에 로그방정식 풀이를 점검하다 보면, 계산 결과는 맞아 보여도 해를 확정하는 근거가 빠진 경우가 있다. 보성고등학교, 방산고등학교, 창덕여자고등학교 등에서 받은 프린트를 정리할 때도 마지막 한 줄의 검산이 풀이의 완성도를 좌우한다.

x=5를 구한 뒤 멈춘 계산

다음 식을 풀어 보자.

log₂(x-3)=1

로그의 정의에 따라

x-3=2¹=2

x=5

여기서 학생이 풀이를 끝내며 “답은 5”라고 적었다면 계산 자체는 맞다. 그러나 x-3>0이라는 정의조건을 쓰지 않았고, 얻은 해를 원식에 대입하지도 않았다. 따라서 이 답안에서는 결과가 우연히 맞았는지, 조건을 적용한 것인지 확인할 근거가 남지 않는다.

검산 줄을 생략하면 드러나지 않는 오류

로그를 하나의 식으로 정리하는 문제에서는 정의조건을 빠뜨리면 허용되지 않는 후보가 함께 남을 수 있다.

log₂(x-3)+log₂(x-1)=1

두 로그를 합치기 전에 진수 조건을 먼저 적으면

x-3>0, x-1>0이므로 x>3이다.

따라서

log₂((x-3)(x-1))=1

(x-3)(x-1)=2

x²-4x+1=0

x=2±√3

계산만 보면 두 값이 모두 후보처럼 보인다. 하지만 정의조건 x>3에 대입하면

• 2-√3은 3보다 작으므로 탈락한다.
• 2+√3은 3보다 크므로 남는다.

따라서 해는 x=2+√3이다. 특히 탈락한 값은 원식의 진수 x-3과 x-1을 모두 양수로 만들지 못하므로 로그값 자체가 정의되지 않는다.

다음 계산 전에 네모로 남길 조건

풀이 줄을 바꾸기 전에 다음과 같이 조건을 별도 표시한다.

□ 정의조건: x-3>0, x-1>0 → x>3

그다음 방정식을 계산하고, 얻은 후보마다 원식의 진수가 양수인지 확인한다. 단순히 “검산함”이라고 쓰는 대신

x=2+√3: x-3=√3-1>0, x-1=1+√3>0

처럼 실제 값을 남겨야 한다. 반대로 x=2-√3은 x-3=-1-√3<0이므로 원식에 대입할 수 없다.

조건이 바뀐 로그방정식에서 확인할 부분

다음 식에서는 먼저 적어야 할 정의조건이 무엇인지 스스로 표시한다.

log₃(x+2)+log₃(x-1)=2

정의조건은 x+2>0과 x-1>0이므로 x>1이다. 이후

(x+2)(x-1)=3²=9

x²+x-2=9

x²+x-11=0

x=(-1±3√5)/2

두 후보 중 (-1-3√5)/2는 1보다 작아 탈락하고, (-1+3√5)/2만 남는다. 마지막에 정의조건과 원식의 진수를 함께 확인했다면, 계산 줄을 생략하지 않고 해의 근거까지 제시한 풀이가 된다.