거여동 고3수학과외에서 최댓값의 근거를 다시 세우는 연습
거여동에서는 거여역현대아파트처럼 주거지와 학교 사이의 이동 시간이 학생마다 다를 수 있다. 덕수고등학교와 서울인공지능고등학교가 지역 내에 있고, 잠실여자고등학교·영동일고등학교·보성고등학교는 같은 송파구의 참고 학교이므로 생활 리듬을 동일하게 가정하지 않고 학습 가능한 시간에 맞춰 풀이 과정을 나누어 점검했다.
이전 최적값을 그대로 옮긴 오답
학생은 원기둥의 겉넓이가 54π일 때의 최대 부피 문제에서 구한 \(r=3,\ h=6\)을 새 문제에도 그대로 적용했다. 그러나 새 조건은 겉넓이가 72π인 경우였다.
오답: \(2\pi r^2+2\pi rh=72\pi\)인데도 \(r=3,\ h=6\), 따라서 \(V=54\pi\)
이 식은 잘못되었다. 실제로 \(r=3,\ h=6\)을 대입하면 겉넓이는 \(2\pi(9)+2\pi(3)(6)=54\pi\)이므로 새 제약식 \(72\pi\)를 만족하지 않는다. 최적값은 제약식이 바뀌면 다시 계산해야 한다.
제약식에서 변수 관계를 먼저 정리하기
새 조건을 양변을 \(2\pi\)로 나누어 정리하면
\[ r^2+rh=36,\qquad h=\frac{36}{r}-r \]
이다. 원기둥의 부피는
\[ V=\pi r^2h =\pi r^2\left(\frac{36}{r}-r\right) =\pi(36r-r^3) \]
이고, \(r>0,\ h>0\)이므로 \(0
미분하면
\[ V'(r)=\pi(36-3r^2)=3\pi(12-r^2) \]
따라서 내부 후보는 \(r=2\sqrt3\)이다. 이때
\[ h=\frac{36}{2\sqrt3}-2\sqrt3 =6\sqrt3-2\sqrt3=4\sqrt3 \]
이다. \(V'(r)\)는 \(0
\[ V_{\max} =\pi(2\sqrt3)^2(4\sqrt3) =48\sqrt3\pi \]
끝점에 가까워지면 \(V=\pi(36r-r^3)\)는 0에 가까워지므로 후보값의 자격도 확인된다.
답안에 남긴 검산 절차
- 틀린 줄에 표시: \(r=3,\ h=6\)을 새 조건에 복사한 부분
- 조건 확인: \(r^2+rh=36\)에서 \(h=36/r-r\)로 수정
- 도함수 확인: \(V'(r)=3\pi(12-r^2)\)
- 대입 검산: \(r=2\sqrt3,\ h=4\sqrt3\)이면 \(r^2+rh=12+24=36\)
- 부피 검산: \(V=\pi\cdot12\cdot4\sqrt3=48\sqrt3\pi\)
조건을 바꾼 독립 검증
같은 풀이를 반복하지 않도록 이번에는 원기둥의 겉넓이를 \(98\pi\)로 바꾸었다. 그러면
\[ r^2+rh=49,\qquad h=\frac{49}{r}-r \]
이고
\[ V=\pi(49r-r^3),\qquad V'(r)=\pi(49-3r^2) \]
이다. 따라서
\[ r=\frac{7}{\sqrt3},\qquad h=\frac{49}{7/\sqrt3}-\frac{7}{\sqrt3} =\frac{14}{\sqrt3} \]
이며, \(0
\[ V_{\max} =\pi\left(\frac{49}{3}\right)\left(\frac{14}{\sqrt3}\right) =\frac{686\sqrt3\pi}{9} \]
이다. 새 제약식에서 다시 미분하고 범위를 확인했으므로 이전의 \(r=3,\ h=6\)을 재사용할 수 없다는 점까지 검증했다.