거여동고2수학과외에서 다루는 로그방정식의 그래프와 실근 개수
거여동에서는 거여역현대아파트처럼 학교와 주거지가 가까운 경우와 귀가 시간이 긴 경우의 학습 리듬이 다를 수 있다. 그러나 로그방정식의 실근 개수는 풀이 시간보다 그래프와 후보 해를 연결하는 판단에서 결정된다.
식의 모양만 보고 두 근이라고 정한 오류
오답표에는 다음 식이 남아 있었다.
log2x = x - 1
풀이에서는 양변에 x가 있고 로그함수와 일차함수가 만날 수 있다는 식으로 실근이 2개라고 적었지만, 그래프를 그리거나 후보를 원래 식에 대입한 과정은 없었다. 이 식의 정의역은 먼저 x > 0이다.
두 함수
- y = log2x
- y = x - 1
을 비교하면 x=1에서 양변이 모두 0이고, x=2에서도 양변이 모두 1이다. 따라서 x=1, 2는 실제 해다. 또한
f(x)=log2x-x+1
이라 두면
f′(x)=1/(x ln 2)-1
이다. f는 처음 증가하다가 감소하며, 양 끝에서 f(x)는 각각 음의 무한대로 접근한다. 이미 서로 다른 두 점 x=1, x=2에서 0이므로 그래프상 교점은 두 개이고, 실근 개수는 2개이다. 답이 맞더라도 그래프와 대입 검산이 빠졌다면 판단 과정은 완성되지 않은 셈이다.
오류가 시작된 지점에서 해를 확인하는 연습
처음부터 풀이를 베껴 쓰지 않고, ‘실근 개수 2개’라고 정한 바로 다음 줄에 다음 절차를 붙인다.
- 정의역을 x>0으로 적는다.
- 두 그래프의 교점 후보를 확인한다.
- 후보를 원래 로그방정식에 대입한다.
실제로
x=1: log21=0, 1-1=0
x=2: log22=1, 2-1=1
이므로 두 값 모두 해임을 표시한다. 그래프에서는 y=log2x가 x>0에서 증가하고, 직선 y=x-1과 두 점에서 만나는지를 함께 확인한다. ‘교점이 있을 것 같다’는 식의 모양 판단을 실제 대입과 그래프의 위치 관계로 바꾸는 것이 훈련의 핵심이다.
부호가 바뀐 식에서 교점 수를 다시 세기
다음 식으로 조건을 바꾼다.
log2x = 2 - x
이번에는 우변이 감소하는 직선이고, 좌변 y=log2x는 정의역 x>0에서 증가한다. 따라서 두 그래프는 최대 한 번 만날 수 있다.
또한 x가 0의 오른쪽에서 0에 가까워지면 log2x는 음의 무한대로 내려가고, 2-x는 2에 가까워진다. 반대로 x가 충분히 커지면 log2x는 증가하지만 2-x는 음의 무한대로 내려간다. 연속인 두 함수의 차이는 양끝에서 부호가 바뀌므로 교점이 하나 존재한다. 따라서 이 방정식의 실근 개수는 1개이다.
이때도 계산량이 적다는 이유로 정의역과 교점 수의 근거를 생략하지 않고, x>0 → 증가·감소 비교 → 양끝의 위치 확인 → 실근 개수 결정의 흔적을 남기는지 확인한다.