확률의 합에서 분산까지, 최초 불일치를 찾는 풀이
소사구의 소사고등학교, 시온고등학교, 정명고등학교 등에서 공부하는 학생이라도 송내동·범박동·소사본동처럼 생활권과 이동 시간이 다르면 학습 리듬이 달라질 수 있다. 이 학생은 이동 후 풀이 시간이 짧아 정답 해설의 결론만 옮기는 습관이 있었고, 확률변수의 조건을 먼저 분리하는 연습이 필요했다.
분산 계산에서 사라진 제곱
확률변수 X가 다음과 같은 값을 가질 때를 풀었다.
- P(X=1)=1/4
- P(X=2)=1/2
- P(X=4)=1/4
먼저 확률의 합은 1/4+1/2+1/4=1이므로 조건은 정상이다. 기댓값은
E(X)=1×1/4+2×1/2+4×1/4=9/4
학생은 분산을 계산하며 다음과 같이 썼다.
V(X)=1/4(1-9/4)+1/2(2-9/4)+1/4(4-9/4)=0
이 식은 오답이다. 편차를 그대로 더하면 기댓값의 정의에 따라 항상 0이 되므로 분산을 구할 수 없다. 분산은 각 편차를 제곱한 뒤 확률을 곱해야 한다.
틀린 줄을 표시하고 식을 다시 세우기
학생은 답안에서 편차를 제곱하지 않은 줄에 표시한 뒤, 변수와 공식의 관계를 두 줄 비교로 정리했다.
- 원식: V(X)=ΣP(X=x)(x-E(X))
- 수정식: V(X)=ΣP(X=x)(x-E(X))²
따라서
V(X)=1/4(1-9/4)²+1/2(2-9/4)²+1/4(4-9/4)²
=1/4×25/16+1/2×1/16+1/4×49/16=19/16
표준편차는 √(19/16)=√19/4이다. 평균에서의 편차에 확률을 곱한 값이 0이 되는지 확인하는 것은 기댓값 검산이고, 분산에서는 반드시 제곱한 값이 양수가 되는지 확인해야 한다.
조건을 바꾼 독립 검증
같은 유형을 반복하지 않고 확률과 확률변수의 값을 바꾸어 확인했다. 이번에는
- P(X=0)=1/5
- P(X=3)=1/2
- P(X=5)=3/10
으로 두었다. 확률의 합은 1/5+1/2+3/10=1이다.
E(X)=0×1/5+3×1/2+5×3/10=3
E(X²)=0²×1/5+3²×1/2+5²×3/10=12
그러므로
V(X)=E(X²)-{E(X)}²=12-9=3
편차식으로 다시 계산해도 1/5(0-3)²+1/2(3-3)²+3/10(5-3)²=3이므로 일치한다. 표준편차는 √3이다. 이제 학생은 해설의 결론을 옮기기 전에 확률의 합, 제곱 여부, 기댓값과 분산의 공식을 차례로 확인한다.