소사구 고2수학과외: 분수형 수열에서 분자와 분모의 규칙 읽기
송내역이나 송내주공1단지처럼 귀가 동선이 긴 생활권과 범박동·계수동처럼 학교와 주거지의 위치가 다른 곳에서는 문제를 푸는 시간이 학생마다 달라질 수 있다. 그래서 짧은 풀이에서도 계산 결과보다 어떤 줄에서 규칙을 놓쳤는지를 확인해야 한다.
1/2, 2/3, 3/4에서 사라진 분자 규칙
수열의 첫째항부터 다음과 같이 주어졌다고 하자.
\[ \frac12,\quad \frac23,\quad \frac34,\quad \cdots \]
분자만 보면 \(1,2,3,\cdots\)이므로 \(n\)이고, 분모는 \(2,3,4,\cdots\)이므로 \(n+1\)이다. 따라서 일반항은
\[ a_n=\frac{n}{n+1}\quad(n\ge1) \]
이어야 한다. 실제로 \(n=1,2,3\)을 대입하면 각각 \(\frac12,\frac23,\frac34\)가 나온다.
그런데 풀이 기록에는 다음과 같은 줄이 남아 있었다.
\[ a_n=\frac{1}{n+1} \]
이 식은 분모의 변화만 반영하고 분자가 \(1,2,3,\cdots\)으로 변한다는 사실을 버린 것이다. \(n=2\)를 대입하면 \(\frac13\)이 되어 원래 둘째항 \(\frac23\)과 다르므로 즉시 틀린 식임을 알 수 있다. 분수형 수열에서는 분자와 분모를 하나의 덩어리로 보지 말고 각각의 항번호 관계를 따로 기록해야 한다.
정답을 고치기 전에 규칙을 식으로 분리하기
오답을 수정할 때 답만 \(\frac{n}{n+1}\)로 바꾸면 같은 오류가 다시 생길 수 있다. 다음처럼 표를 먼저 채우면 계산 줄에서 빠진 부분이 드러난다.
| 항 | 분자 | 분모 |
|---|---|---|
| \(a_1=\frac12\) | \(1\) | \(2=1+1\) |
| \(a_2=\frac23\) | \(2\) | \(3=2+1\) |
| \(a_3=\frac34\) | \(3\) | \(4=3+1\) |
그 뒤에야
\[ \text{분자}=n,\qquad \text{분모}=n+1 \] \[ \therefore\ a_n=\frac{n}{n+1} \]
이라고 적는다. 마지막으로 \(n=1,2,3\)을 원래 항과 대조하면 일반항이 처음 세 항을 정확히 재현하는지도 확인할 수 있다.
힌트 없이 바뀐 분수형 수열에 적용하기
이제 다음 수열의 일반항을 구한다.
\[ \frac37,\quad \frac48,\quad \frac59,\quad \cdots \]
풀이를 시작할 때 분자 \(3,4,5\)는 항번호보다 2만큼 크므로 \(n+2\), 분모 \(7,8,9\)는 항번호보다 6만큼 크므로 \(n+6\)이다. 따라서
\[ a_n=\frac{n+2}{n+6}\quad(n\ge1) \]
이다. 이때 답만 적지 않고 \(n=1\)을 대입하여 \(\frac{3}{7}\)이 되는지 확인해야 한다. 풀이 중 막히면 정답을 임의로 고치는 대신, 분자 규칙과 분모 규칙 중 어느 쪽에서 멈췄는지를 표시한다. 새로운 수열에서도 두 부분을 분리해 식으로 옮겼다면 같은 유형을 독립적으로 처리한 것이다.