옥길동중1수학과외, 정비례·반비례 문제에서 불필요한 정보를 식에서 걸러내는 연습
“전체 학생 30명 중에서 매일 운동한 학생은 6명이고, 조사 기간은 5일이다. 하루에 마신 물의 양은 …”처럼 정보가 길게 이어지는 문제를 보면 숫자를 빠짐없이 식에 넣으려는 중1 학생이 있다. 정비례와 반비례를 묻는 문장제에서도 필요한 관계보다 숫자의 개수에 먼저 반응하는 것이다. 예를 들어 한 개에 2,000원인 물건의 개수와 가격 관계를 묻는데, 문제에 함께 나온 날짜나 학생 수까지 식에 넣으려 한다면 계산 실수보다 먼저 ‘무엇과 무엇의 관계를 찾는가’를 정리해야 한다.
옥길동에는 옥길새길중학교와 옥길중학교가 있고, 같은 소사구의 부천동여자중학교·부천동중학교·부천여자중학교 등은 통학권을 참고할 수 있는 학교다. 학교별 내신 운영과 학생의 주간 일정은 다를 수 있으므로 특정 학교의 출제 경향을 단정하기보다, 첫 시험 뒤 자신의 풀이 과정을 조정하는 데 초점을 둔다.
숫자를 모두 사용하려는 풀이가 왜 틀리는가
정비례는 한 양이 2배, 3배가 될 때 다른 양도 같은 배수가 되는 관계이며 식은 보통 y=ax로 나타낸다. 반비례는 한 양이 2배가 될 때 다른 양이 절반이 되는 관계로 y=a/x 또는 xy=a로 정리한다. 따라서 문제의 모든 숫자가 식에 들어가는 것은 아니다.
예를 들어 “연필 한 자루의 가격이 700원일 때 x자루의 가격을 y원이라 하자. 문구점에 학생 24명이 방문했고 행사 기간은 3일이었다”라는 문장에서 가격 관계만 묻는다면 y=700x가 된다. 24와 3은 이 관계를 계산하는 데 필요하지 않은 정보다. 학생이 y=700×24×3×x처럼 쓰었다면 숫자를 읽지 못한 것이 아니라 관계에 참여하는 양을 분류하지 않은 것이다.
반비례에서도 같은 문제가 나타난다. “일정한 거리를 시속 xkm로 이동하는 데 걸리는 시간을 y시간이라 하자. 이동 거리는 120km이고, 출발 시각은 오전 8시이다”라면 y=120/x이다. 출발 시각은 속력과 시간의 반비례 관계를 정하는 식에 들어가지 않는다.
오답이 난 줄에서 관계를 다시 표시하기
주말에 밀린 문제를 한꺼번에 처리할 때는 틀린 문제를 전부 다시 풀기보다 오류가 난 줄을 찾아야 한다. 먼저 문제의 문장을 세 부분으로 나눈다.
- 서로 변하는 두 양에 밑줄을 긋는다.
- 일정하게 유지되는 값에는 네모 표시를 한다.
- 관계와 무관한 정보에는 ‘제외’라고 적는다.
“사과 4개의 가격이 3,600원일 때 사과 x개의 가격을 y원으로 나타내라”에서 변하는 양은 사과의 개수 x와 가격 y다. 한 개의 가격 900원은 일정한 값이므로 y=900x가 된다. 4와 3,600을 곧바로 곱하거나 나누는 데서 끝내지 않고, 3,600÷4=900이라는 중간식을 작성해야 새로운 개수에도 적용할 수 있다.
반비례 문제에서는 ‘곱이 일정한가’를 확인한다. 넓이가 24㎠인 직사각형의 가로를 x㎝, 세로를 y㎝라 하면 xy=24, 즉 y=24/x이다. 가로 3㎝일 때 세로를 구한 뒤에는 3×8=24로 검산한다. 문제에 적힌 색상, 측정 날짜, 그림 번호처럼 관계와 무관한 정보는 식에 넣지 않는다.
초등 계산 공백은 필요한 만큼만 복구한다
정비례·반비례 문장제를 풀다가 분수 나눗셈이나 단위 변환에서 멈출 수 있다. 이때 초등 수학 전체를 다시 시작하면 현재 중1 문제의 훈련이 중단된다. 예를 들어 1.5시간 동안 90km를 이동한 속력을 구하는 과정에서 90÷1.5를 계산하지 못한다면, 소수 나눗셈 두 문제만 확인한다. 90÷1.5=900÷15=60이므로 속력은 시속 60km다. 계산을 확인한 즉시 원래의 반비례 문제로 돌아가 ‘거리와 시간의 곱이 일정한가’를 다시 표시한다.
문제집의 표현이 “속력과 시간은 반비례한다”에서 “일정한 거리를 이동할 때 걸리는 시간은 속력에 따라 달라진다”로 바뀌어도, 두 양과 고정된 조건을 찾는 방식은 같다. 표현이 달라졌다는 이유로 새 개념으로 분류하지 않고, x와 y를 정한 뒤 xy가 일정한지 확인한다.
맞힌 문제도 풀이시간을 기록한다
시험 직전 익숙한 문제만 반복하면 정답률은 높아 보이지만, 혼자 시작하지 못하는 문제는 계속 뒤로 밀린다. 따라서 정답 여부와 함께 풀이시간을 기록한다. 예를 들어 정비례 식을 2분 안에 세운 문제는 완료 표시를 하고, 맞혔지만 8분이 걸린 문제는 재확인 대상으로 남긴다. 오래 걸린 이유가 불필요한 정보를 식에 넣었다가 지운 것인지, 비례와 반비례를 구분하지 못한 것인지 오답 원인을 한 줄로 적는다.
오답노트도 단원 전체를 옮겨 적는 방식이 아니라 한 페이지에 다음 네 칸만 둔다. ‘변하는 두 양’, ‘일정한 조건’, ‘제외할 정보’, ‘검산식’이다. 예를 들어 x자루의 가격이 y원이고 한 자루가 700원이라면 각각 x와 y, 700, 날짜와 학생 수, y÷x=700으로 기록한다. 이 과정을 거치면 답지를 본 직후 풀이를 베끼는 대신, 답지 없이 관계를 재구성할 수 있다.
다음 문제에서 독립 적용되는지 확인하기
훈련한 문제를 바로 같은 숫자로 다시 맞히는 것만으로는 충분하지 않다. 정비례 문제는 가격을 700원에서 850원으로 바꾸고, 불필요한 방문 인원 정보를 추가한다. 학생이 여전히 y=850x를 세우고 관계없는 수를 제외하는지 확인한다. 반비례 문제는 넓이를 24㎠에서 36㎠로 바꾸거나 가로와 세로의 역할을 바꾼다. 이때 xy=36을 세우고 x=4일 때 y=9를 구한 뒤 4×9=36으로 검산해야 한다.
학교 자료와 형식이 다른 문제집에서는 단위를 바꿔 제시할 수 있다. 2시간 30분을 2.5시간으로 바꾸어야 한다면 먼저 단위를 통일하고, 관계에 필요한 양만 선택한다. 피곤한 날에는 새 유형을 억지로 늘리기보다 이전의 ‘두 양 표시-일정 조건 확인-제외 정보 표시-검산’ 순서를 유지한다. 다음 날 도움 없이 첫 줄부터 시작하고, 일주일 뒤에는 숫자와 문장 표현을 바꾼 문제를 시간 제한 안에 해결하는지 재확인한다.
옥길동중1수학과외에서 정비례·반비례를 다룰 때의 핵심은 많은 문제를 한꺼번에 끝내는 것이 아니라, 긴 문장 속에서 관계를 이루는 두 양과 고정된 조건을 분리하는 데 있다. 이 기준이 새로운 숫자와 표현에서도 유지될 때 식 세우기와 검산이 실제 시험 풀이로 연결된다.