옥길동 고3수학과외, 이항분포를 적용하기 전 확인한 성공확률
옥길동에는 해당 지역명 주소로 확인되는 고등학교가 없으며, 시온고등학교·소사고등학교·정명고등학교·송내고등학교·범박고등학교 등 같은 소사구 통학권의 학생들이 서로 다른 주간 학습 일정 속에서 확률과 통계 문제를 연습한다. 이 학생은 정답 후보가 여러 개인 문제에서 조건을 확인하기보다 기억한 이항분포 식을 먼저 적는 습관이 있었다.
성공확률이 같은지 먼저 확인하기
세 문항을 독립적으로 풀 때 정답일 확률이 각각 \(0.5, 0.6, 0.8\)이고, 정확히 두 문항을 맞힐 확률을 구하는 문제를 풀었다.
학생은 세 시행의 성공확률이 다르다는 사실을 확인하지 않고 평균 성공확률 \(0.6\)을 사용해 다음과 같이 계산했다.
오답: \(P(X=2)=\binom{3}{2}(0.6)^2(0.4)=0.432\)
이 식은 세 시행이 모두 같은 성공확률 \(p=0.6\)을 가질 때만 이항분포 \(X\sim B(3,0.6)\)로 쓸 수 있다. 실제 문제에서는 시행마다 성공확률이 다르므로 이항분포의 계수식을 적용한 위 계산은 틀렸다.
경우별 조건을 식에 반영한 수정
학생은 틀린 줄에 표시한 뒤, 각 시행의 성공확률을 네모칸에 정리했다.
- 1번 성공, 2번 성공, 3번 실패: \(0.5\times0.6\times0.2\)
- 1번 성공, 2번 실패, 3번 성공: \(0.5\times0.4\times0.8\)
- 1번 실패, 2번 성공, 3번 성공: \(0.5\times0.6\times0.8\)
따라서 정확히 두 번 성공할 확률은
\[ 0.5\cdot0.6\cdot0.2+0.5\cdot0.4\cdot0.8+0.5\cdot0.6\cdot0.8 =0.06+0.16+0.24=0.46 \]
이다. 세 경우는 서로 겹치지 않고 정확히 두 번 성공하는 모든 경우이므로 합산한 \(0.46\)이 정답이다. 전체 경우를 더해 확률이 1이 되는지도 확인했다.
조건을 바꾼 독립 검증
학생은 해설을 보지 않고 성공확률을 \(0.4, 0.7, 0.9\)로 바꾼 새 문제를 풀었다. 세 번 중 정확히 한 번 성공할 확률은
\[ 0.4\cdot0.3\cdot0.1 +0.6\cdot0.7\cdot0.1 +0.6\cdot0.3\cdot0.9 =0.012+0.042+0.162=0.216 \]
이다. \(3(0.667)^1(0.333)^2\)처럼 평균 성공확률을 넣은 후보는 시행별 확률이 같다는 조건을 만족하지 않으므로 제거했다. 문제의 기호보다 먼저 성공확률의 동일성, 독립성, 성공 횟수의 범위를 확인하는 방식으로 풀이 순서를 바꾸었다.