심곡본동 고3 확률통계 과외: 이항분포의 첫 불일치 찾기
심곡본동에는 정명고등학교와 경기경영고등학교가 있으며, 같은 소사구 안에서는 시온고등학교·소사고등학교·송내고등학교 등을 참고할 수 있다. 학교별 내신 일정과 학생의 주간 학습 시간이 다르므로, 이 학생은 주 2회 수업에서 풀이 결과보다 표·식·그래프가 처음 어긋나는 지점을 확인하는 연습을 진행했다.
마지막 답만 고치던 풀이
문제는 한 번의 성공 확률이 \(0.4\)인 독립 시행을 5회 반복할 때 성공 횟수를 \(X\)라 하고, \(P(X=2)\), \(E(X)\), \(V(X)\)를 구하는 것이었다. 학생은 먼저 \(X\sim B(5,0.4)\)라고 적었지만 표의 첫 칸에 \(X=0,1,2,3,4,5\)를 쓰지 않았다.
학생의 오답은 다음과 같았다.
\(P(X=2)=\binom{5}{2}(0.4)^2(0.6)^2=0.3456\)
이 식은 틀렸다. \((0.4)^2(0.6)^2=0.0576\)이고, 여기에 \(\binom{5}{2}=10\)을 곱하면 \(P(X=2)=0.576\)이다. 계수와 곱셈 결과가 맞지 않아 식과 계산 중 첫 불일치가 발생한 것이다.
오답을 줄 단위로 수정하는 과정
- 틀린 줄 표시: 학생은 \(P(X=2)\)의 마지막 계산 결과에 밑줄을 긋고, “이항계수는 반영했지만 곱셈을 끝까지 확인하지 않음”이라고 적었다.
- 조건 확인: 성공 횟수의 범위를 \(0\le X\le5\)로 쓰고, 각 시행의 성공 확률 \(p=0.4\), 실패 확률 \(q=0.6\), 시행 횟수 \(n=5\)를 다시 표시했다.
- 식 수정: \(P(X=k)=\binom{5}{k}(0.4)^k(0.6)^{5-k}\)에서 \(k=2\)를 대입해 \(10\cdot0.16\cdot0.36=0.576\)으로 고쳤다.
- 부분합 검산: 표의 \(k=0,1,2\) 항을 실제로 더해 \(0.07776+0.2592+0.3456=0.68256\)인지 확인했다. 이때 \(k=2\) 항은 \(0.576\)이 아니라 \(0.3456\)이므로, 다시 계산하면 \(10\cdot0.16\cdot0.216=0.3456\)이다.
처음에는 실패 횟수의 지수가 \(5-2=3\)이라는 조건을 빠뜨린 것도 함께 발견했다. 따라서 정확한 식은
\(P(X=2)=\binom{5}{2}(0.4)^2(0.6)^3=10\cdot0.16\cdot0.216=0.3456\)
이다. 또한 \(E(X)=np=5(0.4)=2\), \(V(X)=np(1-p)=5(0.4)(0.6)=1.2\)로 계산하고, 확률표 전체의 합이 1이 되는지 확인했다.
조건을 바꾼 독립 검증
새 문제에서는 성공 확률 \(0.3\)인 독립 시행을 6회 반복한다고 하자. \(Y\sim B(6,0.3)\)일 때 학생은 먼저 “각 시행이 독립인가?”를 확인한 뒤 표의 범위를 \(0\le Y\le6\)으로 적는다.
\(P(Y=0)=0.7^6=0.117649\), \(P(Y=1)=\binom61(0.3)(0.7)^5=0.302526\)이므로 두 항의 부분합은 \(0.420175\)이다. 또
\(E(Y)=6(0.3)=1.8,\qquad V(Y)=6(0.3)(0.7)=1.26\)
이다. 만약 시행 사이의 독립성이 보장되지 않거나 매 시행의 성공 확률이 달라진다면 이항분포 식을 그대로 사용할 수 없다는 점까지 확인하며, 마지막 숫자만 고치는 습관 대신 조건·범위·부분합을 함께 검산하도록 교정했다.