심곡본동고1수학과외, 직선까지 거리에서 절댓값과 제곱근 다루기
직선과 점 사이의 거리를 구할 때 자주 쓰는 식은 점과 직선의 거리 공식이다. 점 \(P(x_0,y_0)\)와 직선 \(Ax+By+C=0\) 사이의 거리는
\(\displaystyle d=\frac{|Ax_0+By_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}\)
이다. 분자는 점의 좌표를 직선식에 대입한 값의 절댓값이고, 분모는 \(A^2+B^2\)의 제곱근이다. 두 부분을 한꺼번에 계산하기보다 분자와 분모의 역할을 나누어 처리해야 부호와 제곱근을 놓치지 않는다.
절댓값을 한쪽 경우만 풀었을 때 생긴 누락
학교 프린트의 다음 문제에서 실제 오답이 나타났다.
점 \(P(2,-1)\)과 직선 \(3x-4y+5=0\) 사이의 거리를 구하시오.
좌표를 대입하면 분자는
\(3(2)-4(-1)+5=6+4+5=15\)
이므로 거리는
\(\displaystyle d=\frac{|15|}{\sqrt{3^2+(-4)^2}}=\frac{15}{5}=3\)
이다. 이 문제에서는 대입 결과가 양수라서 절댓값 안의 식을 따로 나누지 않아도 된다. 그러나 학생이 막힌 장면은 절댓값 방정식이 함께 등장한 변형 문제였다.
예를 들어 점 \(P(t,1)\)과 직선 \(x-2y+3=0\) 사이의 거리가 \(2\)라면
\(\displaystyle \frac{|t-2+3|}{\sqrt{1^2+(-2)^2}}=2\)
즉
\(\displaystyle \frac{|t+1|}{\sqrt5}=2\), \(\quad |t+1|=2\sqrt5\)
가 된다. 학생은 여기서 \(t+1=2\sqrt5\)만 적어 \(t=2\sqrt5-1\) 하나만 구했다. 하지만 절댓값 방정식은
\(t+1=2\sqrt5\) 또는 \(t+1=-2\sqrt5\)
이므로 \(t=2\sqrt5-1,\; -2\sqrt5-1\) 두 값이 모두 가능하다.
분자는 부호에 따라 나누고, 분모는 제곱근으로 정리한다
이 유형에서 바꿔야 할 순서는 다음과 같다. 먼저 \(Ax_0+By_0+C\)를 계산하고, 그 결과가 양수인지 음수인지 확인한다. 거리 자체를 구할 때는 절댓값을 취하고, 미지수가 들어간 식이라면 절댓값 방정식을 두 경우로 나눈다. 그다음 \(A^2+B^2\)를 계산해 분모의 제곱근을 정리한다.
예를 들어 점 \(Q(-1,3)\)과 직선 \(6x+8y-1=0\) 사이의 거리는
\(\displaystyle \frac{|6(-1)+8(3)-1|}{\sqrt{6^2+8^2}} =\frac{|-6+24-1|}{\sqrt{36+64}} =\frac{17}{10}\)
이다. 분모를 \(\sqrt{14}\)처럼 잘못 적거나 \(\sqrt{6^2+8^2}\)를 \(6+8\)로 바꾸면 안 된다. 계수의 제곱을 더한 뒤 제곱근을 취해야 한다.
오답노트에는 풀이 전체보다 바뀐 행동을 남긴다
심곡본동에서 정명고등학교나 경기경영고등학교의 학교 프린트와 교과서 복습을 병행하는 경우, 주간 일정에 따라 긴 풀이를 다시 쓰기보다 이번 오류의 행동을 짧게 기록할 수 있다.
절댓값 안에 문자가 있으면 \(+\)와 \(-\) 두 식으로 나눈다. 분모는 \(A^2+B^2\)를 먼저 계산한다.
이 문장을 적은 뒤에는 위의 식을 그대로 베끼지 않고, \(\displaystyle \frac{|2t-5|}{\sqrt{13}}=3\)을 직접 풀어 본다.
\(|2t-5|=3\sqrt{13}\)이므로 \(2t-5=3\sqrt{13}\) 또는 \(2t-5=-3\sqrt{13}\)이다. 따라서
\(\displaystyle t=\frac{5+3\sqrt{13}}2\) 또는 \(\displaystyle t=\frac{5-3\sqrt{13}}2\)
가 된다. 두 값을 원래 절댓값 식에 각각 넣으면 모두 \(|2t-5|=3\sqrt{13}\)을 만족하므로 두 해를 유지해야 한다.
일주일 뒤에는 계산이 아니라 조건 해석을 확인한다
일주일 뒤 오답을 다시 확인할 때는 답을 먼저 제시하지 않고, 다음과 같이 표와 그래프의 제목 및 단위를 읽게 한다.
표의 제목이 ‘경로별 직선까지의 거리’이고 단위가 m라면, 전체 경로의 거리와 각 구간의 거리를 혼동하지 않아야 한다. 그래프에서 세로축이 거리 \(d\), 가로축이 직선식에 대입한 값 \(u=Ax+By+C\)라면 실제 거리는 \(u\)가 아니라 \(\displaystyle |u|/\sqrt{A^2+B^2}\)로 해석한다.
새로운 직선과 점을 제시했을 때 학생이 제목과 단위를 먼저 확인하고, 절댓값 안의 식을 두 경우로 나눈 뒤, \(A^2+B^2\)에서 분모를 구하는지 관찰한다. 이 과정을 거쳐야 검산이 같은 계산을 반복하는 데서 끝나지 않고, 거리의 단위와 전체·부분 관계 및 두 해의 조건을 확인하는 검산으로 바뀌었는지 판단할 수 있다.