송내동중3수학과외, 접선 길이 변형 문제에서 조건을 다시 읽는 연습
“원 밖의 점 P에서 그은 접선의 길이는 반지름과 같다.” 송내동 중학교 3학년 학생이 프린트에 적어 둔 문장이다. 하지만 접선의 길이와 반지름은 언제나 같은 값이 아니다. 학생은 원 밖의 한 점에서 두 접선을 그은 문제에서 접점까지의 선분을 반지름으로 착각했고, 주어진 반지름 5cm를 그대로 답으로 적었다.
접선 길이 문제는 공식을 외우는 것보다 그림의 조건을 선분 관계로 바꾸는 과정이 중요하다. 송내동의 부천남중학교, 부천여자중학교, 성주중학교를 비롯해 같은 소사구의 참고 학교 자료를 살펴볼 때도 학교별 내신 운영과 학생의 주간 일정은 다를 수 있으므로, 특정 학교의 출제 경향을 단정하기보다 현재 문제에서 어떤 조건을 먼저 표시하는지가 학습 기준이 된다. 송내주공1단지·2단지와 송내역 생활권에서 이동 일정이 다른 학생들도 한 문항의 풀이 과정을 짧게 나누어 점검할 수 있다.
반지름 5cm를 접선 길이로 쓰면 안 되는 이유
원의 중심을 O, 원 밖의 점을 P, 접점을 T라고 하자. 접선 PT는 반지름 OT와 접점 T에서 수직이다. 따라서 삼각형 POT에서 OT는 한 변일 뿐이고, 접선 PT는 다른 직각삼각형의 변으로 계산해야 한다. 예를 들어 OP=13cm, 반지름 OT=5cm라면
PT²=OP²-OT²=13²-5²=169-25=144
이므로 PT=12cm이다. 학생이 처음 쓴 5cm는 반지름의 길이이고, 구해야 할 접선의 길이는 12cm이다. 풀이를 시작할 때 학생이 해야 할 첫 행동은 원의 중심과 접점을 연결하고, 접선과 반지름 사이에 직각 표시를 하는 것이다.
접점이 보이면 중심과 접점을 연결한다. 접선이 보이면 접점에서 반지름과 직각인지 확인한다.
두 접선이 같은 점에서 출발하는지 확인하기
한 점 P에서 원에 그은 두 접선이 각각 PA, PB라면 PA=PB이다. 이 성질을 무조건 모든 선분에 적용하면 안 된다. 두 선분이 같은 외부 점 P에서 출발하고, 각각 같은 원에 접해야 한다는 조건이 필요하다.
학생은 PA와 AB를 비교해 “둘 다 원에 닿아 있으므로 길이가 같다”고 설명했다. 그러나 AB는 원의 내부를 지나는 현일 수 있고, 접선의 출발점도 P가 아니다. 이때는 먼저 접선의 접점을 찾고, 두 선분의 공통 출발점이 같은지 확인하도록 풀이를 고쳤다.
예를 들어 P에서 그은 두 접선 PA, PB의 길이가 각각 2x+1, 15cm라면
2x+1=15
에서 x=7이다. 반면 한 접선의 길이와 다른 현의 길이를 비교하는 문제라면 같은 접점에서 나온 두 접선의 성질을 사용할 수 없다. 학생은 선분 이름을 적은 뒤 ‘같은 외부점에서 출발하는 두 접선’이라는 이유를 문장으로 붙여야 한다.
숫자가 아니라 도형의 위치가 바뀌었을 때
접선 문제의 변형은 원이 위에 있는지 옆에 있는지를 바꾸거나, 중심과 외부점의 위치를 달리 제시하는 방식으로 나온다. 그림이 회전해도 판단 순서는 달라지지 않는다.
- 접선과 접점을 확인한다.
- 접점과 원의 중심을 연결한다.
- 반지름과 접선이 수직인지 표시한다.
- 직각삼각형에서 피타고라스 정리를 적용한다.
- 두 접선이 같은 외부점에서 출발하면 길이를 비교한다.
예를 들어 OP=17cm, 반지름이 8cm인 그림에서 접선 PT를 구할 때는 PT²=17²-8²=289-64=225이므로 PT=15cm이다. 여기서 그림을 시계 방향으로 돌려 놓아도 OP가 빗변이고 OT가 한 직각변이라는 관계는 그대로다. 학생이 그림의 방향이 달라졌다는 이유로 새로운 공식을 찾지 않도록, 선분의 위치보다 직각삼각형의 역할을 말하게 했다.
접선 길이를 구한 뒤 역검산하는 방법
계산 결과만 적고 끝내면 부호나 제곱 계산의 오류를 발견하기 어렵다. 접선 길이를 구한 뒤에는 계산한 값을 제곱하여 OP²-OT²와 일치하는지 확인한다. OP=13, OT=5에서 PT=12를 얻었다면 12²+5²=144+25=169=13²이므로 직각삼각형 조건과 맞는다.
또한 접선 길이는 외부점에서 중심까지의 거리보다 길 수 없다. OP=13cm인데 PT=14cm라고 나왔다면 14²+5²가 13²보다 커지므로 그림의 조건과 맞지 않는다. 학생에게 정답 옆에 ‘12²+5²=13²’처럼 짧은 검산식을 쓰게 하자, 맞힌 문제에서도 근거 없이 숫자만 적던 습관이 줄어들었다.
새 조건에서 공식을 기억하지 않고 적용하기
독립 확인에서는 같은 숫자를 다시 주지 않았다. 원의 중심 O에서 외부점 P까지의 거리를 25cm, 반지름을 7cm로 바꾸고 접선 길이를 구하게 했다. 학생은 먼저 접점 T를 표시하고 OT⊥PT를 만든 뒤
PT²=25²-7²=625-49=576
따라서 PT=24cm라고 풀이했다. 이어 P에서 그은 다른 접선의 길이를 묻자, 새로 피타고라스 계산을 반복하지 않고 PA=PB라고 적었다. 숫자가 13과 5에서 25와 7로 바뀌었지만 첫 행동과 근거는 그대로 꺼낸 것이다.
마지막으로 “반지름 10cm, 접선 길이 24cm일 때 중심에서 외부점까지의 거리”를 제시했다. 이번에는 구하는 대상이 OP로 바뀌었으므로 OP²=10²+24²=676, OP=26cm가 된다. 접선 길이를 구할 때의 뺄셈만 기억한 학생은 멈출 수 있지만, 직각삼각형의 세 변을 구분한 학생은 구하는 변에 맞춰 식을 바꿀 수 있다.
송내동중3수학과외에서 접선 단원을 점검할 때는 문제 수보다 학생이 접점과 중심을 먼저 연결하는지, 같은 외부점에서 나온 두 접선을 구별하는지, 구한 길이를 직각삼각형 관계로 검산하는지를 확인한다. 숫자와 그림의 방향이 바뀐 뒤에도 이 세 가지 행동을 도움 없이 수행한다면 접선 길이의 변형 문제에도 독립적으로 접근할 수 있다.