송내동중2수학과외, 선분의 길이와 조건이 바뀐 닮음 문제를 다시 푸는 법
도형 문제의 답지를 보고 고개를 끄덕였는데, 숫자 하나를 바꾼 문제에서는 같은 풀이가 나오지 않는 경우가 있다. 특히 평행선이 포함된 선분비 문제는 그림의 위치, 대응하는 선분, 주어진 길이의 표현이 조금만 달라져도 식을 새로 세워야 한다. 송내동중2수학과외에서는 답을 외워 재현하는 대신, 답지를 닫은 뒤 조건이 바뀐 문제를 독립적으로 해결하는지를 확인한다.
맞힌 문제인데 변형에서 멈추는 장면
예를 들어 삼각형 ABC에서 DE가 BC와 평행하고, D가 AB 위에, E가 AC 위에 있다고 하자. AD=4, DB=6, AE=5일 때 EC를 구하는 문제에서 학생은 답지의 비례식을 그대로 옮겨 4:6=5:x
라고 적는다. 하지만 새 문제에서 AD 대신 AB의 전체 길이가 10으로 제시되거나, AE와 AC의 위치가 바뀌면 어느 선분끼리 대응해야 하는지 다시 묻는다.
평행선이 있는 그림에서 학생이 자주 하는 행동은 선분 이름을 읽기 전에 숫자부터 찾아 식에 넣는 것이다. 그림에 표시된 조건을 한 번에 보려다 보면 AD와 AB를 혼동하고, 작은 삼각형과 큰 삼각형의 대응 순서를 뒤집는다. 답지와 같은 그림에서는 맞히지만, 평행선의 위치가 달라진 그림에서는 비례식의 좌우가 흔들린다.
오답은 계산보다 대응과 조건에서 시작된다
- 평행하다는 조건을 확인하지 않고 닮음 관계를 먼저 정한다.
- 작은 삼각형의 변과 큰 삼각형의 변을 같은 순서로 배열하지 않는다.
- AD와 AB처럼 부분 선분과 전체 선분을 구분하지 않는다.
- 구한 값이 길이인데 음수나 주어진 전체 길이보다 큰 값을 그대로 둔다.
이 문제는 중2에서 도형의 닮음과 평행선에 의한 선분의 길이를 함께 다루면서 더 분명해진다. 공식 하나를 기억하는 것보다 그림의 조건을 근거로 닮음 관계를 만들고, 그 관계에 맞춰 대응변을 정렬해야 한다. 중1의 도형 내용을 전부 되돌리기보다, 현재 문제를 막는 평행선과 대응변 표시만 짧게 확인하고 곧바로 중2 문제에 적용한다.
식보다 먼저 그림에 남기는 세 가지 표시
첫째, 평행한 두 선분에 같은 화살표를 표시한다. 둘째, 작은 삼각형과 큰 삼각형의 꼭짓점을 같은 순서로 적는다. 예를 들어 DE가 BC와 평행이면 △ADE와 △ABC를 비교할 때 A-D-E와 A-B-C의 대응을 먼저 적는다. 셋째, 문제에 나온 길이가 부분인지 전체인지 괄호를 붙인다. AD=4, DB=6이면 AB는 4+6=10이라는 점을 별도로 기록한다.
그 뒤 비례식을 세운다. 위 조건에서는 △ADE∽△ABC이므로 AD:AB=AE:AC이다. AD=4, AB=10, AE=5라면 4:10=5:AC이고, 4AC=50이므로 AC=12.5이다. 따라서 EC=AC-AE=7.5이다. 학생이 바로 EC를 구하려 한다면 먼저 전체 AC를 구한 뒤 주어진 AE를 빼도록 풀이 순서를 고정한다.
답지를 본 뒤에는 같은 문제를 다시 베끼지 않는다. 책을 덮고 선분 하나의 길이, 평행선의 위치, 또는 물어보는 대상을 바꾼다.
송내동 학생에게 적용한 변형 훈련
송내동에는 부천남중학교, 부천여자중학교, 성주중학교가 있고, 같은 소사구의 참고 학교로 부천동여자중학교와 부천동중학교가 있다. 이 학교들을 하나의 시험 경향으로 묶기보다 학교 자료, 학원 자료, 문제집을 학생의 주간 일정에 맞춰 따로 확인해야 한다. 송내주공1단지·2단지와 송내역을 오가는 일정처럼 이동과 수행평가가 겹치는 주에는 고난도 문제의 양을 무리하게 늘리지 않고, 한 문제를 변형해 대응 관계를 확인하는 방식이 효율적이다.
훈련할 때는 먼저 원문을 풀고 풀이를 확인한다. 이후 숫자 하나만 바꾼다. AD=4를 AD=3으로 바꾸거나, AE=5를 AE=6으로 바꾸되 그림의 조건은 유지한다. 다음에는 질문을 EC가 아니라 AC로 바꾼다. 마지막으로 평행선의 위치를 바꾼 그림을 제시하고, 학생이 새로 닮음 관계를 적는지 확인한다.
피곤한 날에는 네 문제를 끝까지 밀어붙이지 않는다. 대신 한 문제를 선택해 대응점 세 개, 부분·전체 선분, 평행 조건을 말로 설명하게 한다. 맞힌 문제도 풀이 시간과 표시 누락 여부를 기록한다. 친구의 선행 속도와 비교하기보다, 답지를 덮은 뒤 변형 문제를 혼자 시작할 수 있는지가 기준이 된다.
독립 검증: 숫자와 그림을 함께 바꾼다
검증에서는 원문과 다른 문제를 사용한다. 예를 들어 △ABC에서 DE∥BC이고 AD=6, DB=4, AE=9일 때 EC를 구하게 한다. 학생은 먼저 AB=10을 만들고 6:10=9:AC를 세워 AC=15, EC=6을 얻어야 한다. 여기서 끝내지 않고, 평행선 DE의 위치를 바꾸거나 AD와 DB를 다른 수로 제시한다.
또 하나는 식을 세우기 전에 대응 관계를 서술하게 하는 문제다. 왜 AD와 AB를 비교하는가?
, EC를 바로 비례식에 넣지 않고 AC를 먼저 구하는 이유는 무엇인가?
에 답하게 한다. 숫자, 물어보는 선분, 도형의 위치를 바꿔도 같은 원리로 풀고, 마지막에 부분 길이의 합이 전체 길이와 맞는지 역검산하면 중복된 공식 암기를 줄일 수 있다.
송내동중2수학과외에서 확인하는 변화
수업에서는 정답 개수만 기록하지 않는다. 학생이 문제를 받았을 때 평행 조건을 표시했는지, 대응 순서를 적었는지, 부분과 전체를 구분했는지, 새 숫자에서 풀이를 처음부터 구성했는지를 본다. 답지를 본 문제를 숫자 하나만 바꿔도 다시 풀지 못한다면 풀이를 이해한 것이 아니라 배열을 기억한 상태일 수 있다. 반대로 그림과 조건이 달라져도 근거를 말하며 비례식을 세우면 학교 프린트와 문제집의 표현이 달라도 대응할 수 있다.
자주 묻는 질문
닮음비만 외우면 되나요?
닮음비보다 먼저 닮음 관계와 대응변을 정해야 합니다. 대응이 틀리면 비율식 전체가 틀립니다.
답지를 본 문제는 언제 다시 풀어야 하나요?
풀이를 확인한 직후 책을 덮고 숫자나 질문을 바꾼 문제로 재현하는 것이 좋습니다.
계산 결과가 소수이면 틀린 것인가요?
아닙니다. 주어진 길이에 따라 소수가 나올 수 있습니다. 다만 부분 길이의 합, 전체 길이와의 크기 관계를 확인해야 합니다.