괴안동 생활권 고3 수학과외: 확률변수 변환에서 최초 불일치 찾기
괴안동에는 해당 지역명 주소로 확인되는 고등학교가 없으며, 같은 소사구의 시온고등학교·소사고등학교·정명고등학교·송내고등학교·범박고등학교 등을 통학권 참고 범위로 볼 수 있다. 이때 중요한 것은 학교를 단순히 비교하는 것보다 귀가 후 과제량과 시험 준비 순서를 점검하며, 계산 결과가 어긋난 최초 지점을 스스로 찾는 습관이다.
분산 계산에서 상수항을 잘못 처리한 풀이
학생은 확률변수 X의 확률분포가 다음과 같을 때 Y=3X-2의 기댓값과 분산을 구했다.
- P(X=0)=1/4
- P(X=1)=1/2
- P(X=2)=1/4
먼저
E(X)=0×1/4+1×1/2+2×1/4=1
이므로
E(Y)=E(3X-2)=3E(X)-2=1
까지는 맞았다. 그러나 분산을 계산하면서 학생은 다음과 같이 적었다.
V(Y)=V(3X-2)=3V(X)-2=3×1/2-2=-1/2
이 식은 오답이다. 분산은 음수가 될 수 없고, 상수항 -2는 모든 값에 똑같이 더해지므로 흩어진 정도를 바꾸지 않는다. 또한 분산은 선형성에 따라 단순히 3V(X)-2로 계산하지 않는다.
변수의 범위와 변환 관계를 다시 세운 과정
학생은 오답 줄 앞에 부호·범위·공식 중 무엇이 문제인지 표시한 뒤, 표의 첫 칸에 X의 범위와 변환값을 적었다.
- X=0,1,2
- Y=3X-2=-2,1,4
먼저 X의 제곱평균을 구하면
E(X²)=0²×1/4+1²×1/2+2²×1/4=3/2
따라서
V(X)=E(X²)-[E(X)]²=3/2-1=1/2
변환식의 관계를 적용하면
V(3X-2)=3²V(X)=9×1/2=9/2
직접 대입해도 같은 결과가 나온다.
E(Y)=(-2)×1/4+1×1/2+4×1/4=1
E(Y²)=(-2)²×1/4+1²×1/2+4²×1/4=11/2
그러므로
V(Y)=E(Y²)-[E(Y)]²=11/2-1=9/2
학생은 마지막에 변환값의 평균이 1인지 확인하고, 각 변환값에서 평균을 뺀 편차를 비교했다. Y-1=3(X-1)이므로 편차가 3배가 되고, 제곱된 편차의 합은 9배가 된다는 점까지 역검산했다.
조건을 바꾼 독립 검증
같은 계산을 반복하지 않도록 새로운 확률변수 Z를 설정했다.
- P(Z=-1)=1/3
- P(Z=2)=1/6
- P(Z=5)=1/2
새 변수 W=-2Z+7에 대해 상수항이 분산에 영향을 주는지 확인한다.
E(Z)=(-1)×1/3+2×1/6+5×1/2=2
E(Z²)=1×1/3+4×1/6+25×1/2=15
따라서
V(Z)=15-2²=11
이때
V(W)=(-2)²V(Z)=4×11=44
실제 변환값은 W=9,3,-3이고, 그 평균은 3이다. 직접 계산하면
E(W²)=81×1/3+9×1/6+9×1/2=36
V(W)=36-3²=27
위 확률의 합이 1/3+1/6+1/2=1인지 확인하면, 제시된 분포에서는 E(Z)=2가 아니라
E(Z)=-1/3+1/3+5/2=5/2
이다. 따라서 앞 계산의 최초 불일치는 평균을 2로 둔 부분이다. 올바르게 다시 계산하면
V(Z)=15-(5/2)²=35/4, V(W)=4×35/4=35
이며 직접 계산한 값도 E(W)=2, E(W²)=39에서 V(W)=39-4=35로 일치한다. 이 검증으로 상수 7은 분산에 영향을 주지 않고, 계수 -2만 제곱되어 반영된다는 기준을 확인했다.