괴안동고2수학과외

괴안동 고2수학과외, 도형 배열의 증가량을 일반항으로 바꾸는 과정

괴안동에는 해당 지역명 주소로 확인된 고등학교가 없어, 소사구 내 시온고등학교·소사고등학교·정명고등학교·송내고등학교·범박고등학교 등을 통학권 참고 자료로 볼 수 있다. 이때 학교 선택보다 귀가 뒤 과제와 시험 준비 순서를 점검하는 일이 중요하다. 특히 수열 단원에서는 도형의 개수와 항의 번호를 정확히 연결해야 한다.

4개, 7개만 보고 증가량을 일반항으로 쓰면 생기는 오류

도형 배열의 개수를 세어 보니 1단계는 4개, 2단계는 7개였다. 풀이 과정에서 다음과 같이 적은 경우가 있었다.

잘못된 풀이: 증가량이 3이므로 a_n=3n

증가량 3은 공차를 나타낼 뿐 첫째항을 나타내지 않는다. 만약 도형 배열이 매 단계마다 3개씩 늘어나는 등차수열이라면

a₁=4, d=7-4=3

이므로 일반항은

a_n=a₁+(n-1)d=4+3(n-1)=3n+1

이다. 실제로 n=1을 대입하면 a₁=4, n=2를 대입하면 a₂=7이 되어 도형에서 센 개수와 일치한다. 반면 3n은 첫째항이 3이므로 관찰된 배열과 맞지 않는다.

도형을 본 뒤 항번호와 개수를 따로 기록하기

다만 첫 두 단계의 숫자만으로 항상 등차수열이라고 단정할 수는 없다. 세 번째 도형의 개수까지 확인해 증가량이 계속 3인지 살펴야 한다. 풀이를 다음 세 칸으로 나누면 오류가 발생한 위치를 추적하기 쉽다.

학생이 증가량만 적었다면 계산 칸 전체를 다시 쓰기보다, 먼저 조건 칸에서 a₁과 d를 구분해 표시한다. 그다음 검산 칸에서 일반항에 1과 2를 각각 넣는다. 이 과정을 거치면 규칙을 찾는 단계와 식을 만드는 단계가 뒤섞이지 않는다.

숫자를 바꾼 도형에서도 첫째항을 보존하는가

새 배열의 개수가 1단계 11개, 2단계 17개, 3단계 23개라면 공차는 6이다. 그러나 일반항을 6n으로 쓰면 첫째항이 6이 되어 틀린다.

조건을 먼저 적으면

a₁=11, d=6

따라서

a_n=11+6(n-1)=6n+5

이다. n=4일 때 a₄=29이고, 실제로 23에서 6을 더한 값과 같다. 숫자의 크기가 달라져도 첫째항, 공차, 대입 검산을 순서대로 남겼다면 같은 오류를 피할 수 있다.

귀가 후 수열 과제를 점검할 때는 도형의 개수를 먼저 표로 옮기고, 일반항을 만든 뒤 첫 두 항을 다시 대입하게 해야 한다. 답만 맞추는 것이 아니라 항번호와 도형 개수가 끝까지 일치하는지가 판단 기준이다.