성북구고3수학과외

성북구 고3 수학과외에서 비교정리의 첫 오류 찾기

성북구의 석관동·길음동·돈암동·정릉동처럼 학교와 주거지 사이 이동 시간이 다른 생활권에서는 같은 고3 학생이라도 풀이를 점검할 수 있는 시간이 달라진다. 이 학생은 긴 해설을 그대로 옮기기보다, 짧은 시간에도 해설과 자신의 풀이가 처음 어긋난 줄을 표시하는 연습부터 진행했다.

대소관계를 뒤집은 첫 줄

문제는 다음 수열의 수렴 여부를 판단하는 것이었다.

a_n = (2n+1)/(n²+3),   b_n = 1/n

n≥1에서 양수이므로 분모를 비교하면 n²+3≥n²이고, 2n+1≤3n이다. 따라서

0≤a_n≤3n/n²=3/n

이다. 3/n→0이므로 샌드위치 정리에 의해 a_n→0이다.

학생의 오답은 다음과 같았다.

n²+3≤n²이므로 a_n≥(2n+1)/n²≥2/n

이 식은 n²+3≤n²가 성립하지 않아 틀렸다. 실제로 n²+3은 n²보다 항상 크다. 분모가 커지면 양수 분수의 값은 작아지므로, 분모를 n²로 바꾼 결과는 a_n의 하한이 아니라 상한으로 사용해야 한다.

틀린 줄을 기준으로 풀이를 복구하기

• 해설과 다른 첫 줄에 빨간색으로 표시하고, 옆에 “분모 대소관계 반대”라고 문자 메모를 남긴다.
• n≥1, 2n+1>0이라는 조건을 먼저 확인한다.
• 2n+1≤3n과 n²+3≥n²를 따로 적어 분자와 분모의 방향을 섞지 않는다.
• 0≤a_n≤3/n으로 식을 수정한다.
• n=10을 대입해 a₁₀=21/103≈0.204, 3/10=0.3이므로 실제로 a₁₀≤3/10인지 확인한다.

또한 수정한 결론을 역으로 점검했다. 0≤a_n≤3/n이고 양끝 수열이 모두 0으로 가까워지므로 a_n의 극한도 0이어야 한다. 정답 숫자만 옮기지 않고, 첫 비교식의 방향과 대입 결과까지 확인한 것이다.

조건을 바꾼 독립 검증

같은 문제를 반복하지 않고 다음 수열로 바꾸어 검증했다.

c_n = (5n−2)/(n²−1),   n≥2

n≥2에서 5n−2≤5n, n²−1≥n²/2이므로

0≤c_n≤5n/(n²/2)=10/n

이다. 따라서 c_n→0이다. 학생은 이번에는 분모의 부등호를 뒤집지 않았고, n=20을 대입해 c₂₀=98/399≈0.246, 10/20=0.5임을 확인했다.

반대로 조건을 바꿔 d_n=(3n+1)/(n−2), n≥3을 살펴보면 d_n≥3이므로 0으로 수렴한다고 결론 내릴 수 없다. 분자와 분모를 n으로 나누어 d_n=(3+1/n)/(1−2/n)→3이다. 비교식의 방향뿐 아니라 수열의 최종 극한과 수렴 조건까지 함께 확인하는 방식으로 오류를 차단했다.