보문동 생활권 고3 수학과외: 최단거리에서 경계 조건을 놓치지 않는 풀이
보문동에서 공부하는 학생은 주거지와 통학 학교의 거리에 따라 자습 시간이 달라질 수 있어, 짧은 시간에도 풀이 근거를 끝까지 확인하는 연습이 필요하다. 성북구 내 계성고등학교, 용문고등학교, 서울대학교사범대학부설고등학교, 석관고등학교, 고려대학교사범대학부속고등학교 등을 통학권 참고 대상으로 삼되, 학교별 출제경향을 임의로 단정하지 않고 학생의 실제 풀이 과정을 중심으로 점검했다.
미분값만 보고 최단점을 정한 오류
학생은 직선 위의 점과 한 점 사이의 최단거리를 구하면서 다음과 같은 문제를 풀었다.
직선 y=2x+1 위의 점 Q(x,2x+1) 중 0≤x≤1을 만족하는 점과 점 P(3,0) 사이의 거리가 최소가 되는 점을 구하여라.
거리의 제곱을 함수로 두면
D(x)=(x-3)2+(2x+1)2=5x2-2x+10
이므로
D′(x)=10x-2
이다. 학생은 D′(x)=0에서 x=1/5을 구한 뒤, 최단점의 좌표를
Q(1/5,7/5)
로 적었다. 이 계산은 이 문제에서는 맞지만, 학생은 이후 조건이 바뀌어도 항상 내부 임계점만 찾는 방식으로 풀이했다.
새 범위에서는 임계점이 후보가 될 수 없는 이유
같은 직선과 점을 사용하되 범위를 1≤x≤3으로 바꾸면 거리의 제곱 함수는 여전히
D(x)=5x2-2x+10
이다. 미분하면
D′(x)=10x-2=0 ⟹ x=1/5
이지만, 1/5는 1≤x≤3을 만족하지 않는다. 따라서 이 문제에서 내부 임계점은 가능한 후보가 아니다. 학생의 오답은 다음과 같다.
오답: 최단점은 Q(1/5,7/5)이다.
이 식이 틀린 이유는 미분 계산이 아니라 정의역 조건을 확인하지 않았기 때문이다. 최솟값 문제에서는 내부 임계점뿐 아니라 주어진 구간의 양 끝점도 반드시 후보에 포함해야 한다.
수직선에 1≤x≤3을 표시하면 x=1/5은 허용 구간 밖에 있다. 실제 가능한 후보는 x=1, x=3이다.
- D(1)=5-2+10=13
- D(3)=45-6+10=49
따라서 최솟값은 D(1)=13이고, 최단점은
Q(1,3)
이다. 최단거리는 √13이다.
틀린 줄을 표시하고 다시 검산한 과정
학생은 풀이에서 “D′(x)=0이므로 x=1/5”라고 쓴 줄에 먼저 표시했다. 그다음 함수식 자체가 아니라 변수의 허용 범위를 확인하여 1≤x≤3을 적었다. 이 조건과 x=1/5을 대조한 결과, 해당 값은 해가 아니라 제외해야 할 후보임을 확인했다.
이후 경계값을 대입해 거리의 제곱을 비교했다. 좌표로 직접 검산하면 Q(1,3)에서
(1-3)2+(3-0)2=4+9=13
이고, Q(3,7)에서는
(3-3)2+(7-0)2=49
이므로 함수값 비교와 좌표 거리 계산이 일치한다. 이 과정을 통해 “미분값이 0인 점을 찾는 것”과 “조건을 만족하는 최단점인지 판정하는 것”은 별개의 단계임을 정리했다.
운동 조건을 바꾼 독립 검증
직선 y=-x+4 위에서 2≤x≤5인 점 R(x,-x+4)와 점 A(0,0) 사이의 거리가 최소가 되는 점을 구하는 문제로 다시 확인했다.
거리의 제곱은
F(x)=x2+(-x+4)2=2x2-8x+16
이고,
F′(x)=4x-8=0 ⟹ x=2
이다. 이번에는 x=2가 2≤x≤5를 만족하므로 내부 후보로 인정할 수 있다. 실제로
F(2)=8-16+16=8
이며, 양 끝점에서는
- F(2)=8
- F(5)=50-40+16=26
이므로 최단점은 R(2,2), 최단거리는 2√2이다. 학생은 이번에는 먼저 수직선에 범위를 표시하고, 임계점의 조건 만족 여부와 양 끝점 비교까지 수행해 경계 후보를 누락하지 않았다.