보문동고2수학과외

보문동고2수학과외, 로그방정식에서 밑변환과 해 검산을 연결하기

보문동의 e편한세상보문아파트나 종로센트레빌후문 인근에서 통학하는 학생은 학교와 집의 거리에 따라 문제를 풀 수 있는 시간이 달라질 수 있다. 그러나 로그방정식에서는 풀이 시간보다 한 줄의 순서가 더 중요하다. 밑변환을 하기 전에 정의조건과 후보 해를 확인하는 습관이 식의 의미를 바꾼다.

진수 2와 8을 비교해 해를 정하면 안 되는 이유

다음 식을 풀이하는 과정에서 학생은 밑을 바꾸지 않은 채 로그에 보이는 수를 비교했다.

log₂x = log₄8

학생 답안에는 “밑에 2와 4가 있고 진수에 x와 8이 있으므로 x=8”이라는 식의 판단이 나타났다. 하지만 로그의 밑이 서로 다르므로 진수만 비교할 수 없다. 로그의 정의조건부터 쓰면

x > 0, 그리고 밑 2와 4는 모두 0보다 크고 1이 아니다.

이제 오른쪽 로그를 밑변환한다.

log₄8 = log₂8 / log₂4 = 3/2

따라서

log₂x = 3/2 이므로 x = 2^3/2 = 2√2이다.

얻은 값은 2√2 > 0이므로 정의조건을 만족한다. 실제 검산도 가능하다.

log₂(2√2) = log₂(2^3/2) = 3/2 = log₄8

밑변환 전에 적어야 할 한 줄

현재 풀이에서는 후보 해를 확인하지 않고 곧바로 밑변환 계산으로 들어가는 모습이 반복되었다. 이를 고치기 위해 로그방정식을 보면 다음 순서를 답안에 남긴다.

1. 모든 밑이 0보다 크고 1이 아닌지 확인한다.
2. 문자식인 진수가 있다면 진수의 범위를 적는다.
3. 밑변환으로 식을 정리한다.
4. 구한 후보를 원래 로그방정식에 대입한다.

예를 들어 log₃(x-1) = log₉27에서는 먼저 x-1>0, 즉 x>1을 적는다. 오른쪽은

log₉27 = log₃27 / log₃9 = 3/2

이므로 log₃(x-1)=3/2, x-1=3^3/2=3√3, 따라서 x=1+3√3이다. 이 값은 x>1을 만족하므로 답으로 확정할 수 있다.

계수와 부호가 바뀐 식에서 순서 유지하기

하루 뒤에는 같은 유형이지만 표현을 바꾼 문제를 제시한다.

2log₄(y+1) - 1 = log₂8

이번에는 y+1>0, 즉 y>-1을 먼저 적어야 한다. 또한 log₂8=3이므로

2log₄(y+1)-1=3

2log₄(y+1)=4, log₄(y+1)=2

따라서 y+1=4²=16, y=15이다. y=15는 y>-1을 만족한다.

이 문제에서 진수 y+1과 오른쪽의 8을 비교해 y=7이라고 정하면 안 된다. 계수 2와 상수 -1을 먼저 처리해야 하며, 밑변환은 필요한 로그를 같은 밑으로 바꾸는 절차이지 진수를 직접 맞추는 절차가 아니다.

보문동고2수학과외 학습에서는 풀이가 끝난 뒤 정답만 표시하지 않고, 정의조건 → 밑변환 또는 로그 정리 → 후보 해 대입의 세 줄이 남아 있는지 확인한다. 새로운 계수와 부호가 들어와도 이 순서를 스스로 유지하면 밑변환 계산이 해 검산과 분리되지 않는다.