홍익동고2수학과외

홍익동 고2수학과외, 로그방정식의 비교 조건을 계산 줄에서 확인하기

홍익동에는 해당 지역명 주소의 고등학교가 확인되지 않으므로, 무학여자고등학교·성수고등학교·도선고등학교·금호고등학교·한양대학교사범대학부속고등학교 등 성동구 내 통학권을 참고해 학습 시간을 구성할 수 있다. 방과 후 이동 뒤 확보한 짧은 자습 시간에는 로그방정식의 풀이 줄마다 조건을 표시하는 훈련이 효과적이다.

진수만 같게 놓은 풀이에서 빠진 확인

다음 식을 풀던 풀이에서 학생은 밑을 따로 확인하지 않고 곧바로 진수를 비교했다.

log₂(x−1)=log₂(5−x)

학생의 풀이에는 다음과 같이 적혀 있었다.

x−1=5−x → 2x=6 → x=3

결과는 맞지만, 이 줄만으로는 같은 밑의 로그함수를 비교할 수 있다는 근거가 남지 않는다. 같은 밑의 로그함수는 밑이 0보다 크고 1이 아니며, 두 진수가 양수일 때 일대일 관계를 이용해야 한다.

밑과 진수 조건을 식 앞에 세우기

이 문제에서 두 로그의 밑은 모두 2이므로 비교 조건을 사용할 수 있다.

밑: 2>0, 2≠1
진수: x−1>0, 5−x>0

따라서 정의역은 1<x<5이다. 이제 같은 밑을 확인한 뒤 진수를 비교하면

x−1=5−x

2x=6, x=3

이고, 3은 1<x<5를 만족한다. 실제 원식에 대입하면 양변이 모두 log₂2=1이므로 해가 확정된다.

다음 계산 전 네모 조건표 만들기

재풀이할 때는 계산을 시작하기 전에 다음 네모를 먼저 작성한다.

□ 밑이 같은가? □ 밑>0인가? □ 밑≠1인가? □ 두 진수가 모두 양수인가?

이번 식에서는 네 항목이 모두 통과한다. 이 표시가 있어야 “진수끼리 같게 놓은 줄”이 조건을 생략한 추측이 아니라 로그의 일대일성을 적용한 계산임을 확인할 수 있다.

계수와 진수가 바뀐 식에서 다시 세우기

조건을 바꾼 다음 식에서도 같은 순서를 유지하는지 확인한다.

log₃(2x−1)=log₃(7−x)

밑 3은 3>0, 3≠1이고, 진수 조건은

2x−1>0, 7−x>0

이므로 1/2<x<7이다. 같은 밑을 확인한 뒤

2x−1=7−x → 3x=8 → x=8/3

을 얻는다. 8/3은 정의역 안에 있으므로 해가 된다. 밑과 진수 조건을 먼저 적고, 마지막에 후보를 범위와 대조했다면 새로운 계수에서도 같은 판단을 유지한 것이다.