홍익동고1수학과외: 반복되는 \(x+\frac{1}{x}\)를 새 문자로 바꾸는 법
성동구 홍익동에서 학교 수업과 방과 후 이동을 마친 뒤 확보한 짧은 자습시간에는, 반복되는 식을 한눈에 찾아 치환하는 연습이 효과적이다. 이 단원에서 필요한 것은 치환 자체보다 새 문자와 원래 문자의 대응을 끝까지 유지하는 일이다.
치환한 문자만 남긴 풀이의 문제
다음 식을 보자.
\[ x^2+\frac{1}{x^2}=5 \qquad (x\ne0) \]
\(x+\frac1x\)가 반복될 수 있으므로
\[ t=x+\frac1x \]
라고 두면
\[ t^2=x^2+2+\frac1{x^2}=7 \]
따라서 \(t=\pm\sqrt7\)이다. 그런데 실제 답은 \(t\)가 아니라 \(x\)에 관한 값이어야 한다. 대응식을 다시 사용하면
\[ x+\frac1x=\sqrt7 \quad\Longrightarrow\quad x^2-\sqrt7x+1=0 \]
이므로
\[ x=\frac{\sqrt7\pm\sqrt3}{2} \]
이다. \(t=-\sqrt7\)인 경우에는
\[ x^2+\sqrt7x+1=0 \]
에서
\[ x=\frac{-\sqrt7\pm\sqrt3}{2} \]
를 얻는다.
관찰된 오답에서는 \(x^2=t\)라고 둔 뒤 \(t\)에 대한 계산만 진행하고 답란에도 \(t\)값만 적었다. 이 식은 \(x^2\)와 \(\frac1{x^2}\)가 반복된다는 점을 이용한 것이므로, 마지막에는 반드시 \(t=x+\frac1x\)로 돌아가 \(x\)를 구해야 한다.
새 문자 옆에 대응식을 고정해 두기
풀이 첫 줄에 다음처럼 함께 적는다.
\[ \boxed{t=x+\frac1x},\qquad \boxed{x=t\text{가 아님}} \]
그다음 \(t^2\)를 계산하고, \(t\)의 값을 얻은 뒤에는 곧바로
\[ x+\frac1x=t \quad\Longrightarrow\quad x^2-tx+1=0 \]
으로 되돌린다. 이 과정을 별도 표시로 남기면 ‘치환’과 ‘원래 문자로 복귀’가 한 세트라는 점이 풀이에 드러난다. \(x\ne0\) 조건도 분모가 있으므로 처음부터 유지해야 한다.
답을 좌표로 옮길 때 생기는 또 다른 확인
변형 문제로
\[ x^2+\frac1{x^2}=10 \]
을 풀어 보자. \(t=x+\frac1x\)라 하면
\[ t^2=12,\qquad t=\pm2\sqrt3 \]
이다. 따라서
\[ x^2-2\sqrt3x+1=0 \]
또는
\[ x^2+2\sqrt3x+1=0 \]
을 풀어야 한다. 양의 해는 \(\sqrt3+\sqrt2\), \(\sqrt3-\sqrt2\)이고 음의 해는 \(-\sqrt3+\sqrt2\), \(-\sqrt3-\sqrt2\)이다.
여기에 불필요한 숫자 \(8\)이 포함되고, 해를 점 \((x,y)\)로 나타내되 \(y=\frac1x\)라고 하자. 예를 들어 \(x=\sqrt3+\sqrt2\)이면 \(y=\frac1x=\sqrt3-\sqrt2\)이므로 점은
\[ (\sqrt3+\sqrt2,\ \sqrt3-\sqrt2) \]
이다. 좌표를 \((y,x)\)로 뒤집으면 다른 점이 되므로, 답을 좌표로 기록할 때는 먼저 가로축 값 \(x\), 세로축 값 \(y\)의 순서를 확인한다. 두 값 모두 양수인지도 점의 위치와 대조할 수 있다.
이처럼 새 변수의 해를 얻은 뒤 원래 문자로 되돌리고, 좌표로 표현할 때는 \(x,y\)의 순서와 점의 위치를 검산하는지 확인한다. ‘어디서 막혔는지’를 한 문장으로 적었을 때 치환 표시의 누락과 원래 문자로 돌아가지 않은 점이 함께 사라졌다면, 이 유형의 풀이 행동이 실제로 바뀐 것으로 볼 수 있다.