행당동 고3 수학과외: 위치 변화와 순간변화율을 구분하는 풀이
행당동은 성동구 생활권에 속하며 행당푸르지오아파트 등이 확인된다. 해당 지역명 주소에 고등학교가 확인된 것은 아니므로, 무학여자고등학교·성수고등학교·도선고등학교 등 성동구 통학권 학교의 수업과 수행평가 일정을 고려해 학습 시간을 조정할 수 있다. 평일 귀가 후에는 긴 문제보다 한 문제의 풀이 과정을 정확히 점검하는 방식이 효과적이다.
평균변화율을 순간변화율로 착각한 계산
학생은 물체의 위치가 시간 t초에서
s(t)=t3-6t2+9t+2
로 주어졌을 때 t=2에서의 순간변화율을 구하며 다음과 같이 계산했다.
s(2)=4, s(3)=2이므로
(s(3)-s(2))/(3-2)=(2-4)/1=-2
이 식은 t=2에서 t=3까지의 평균변화율이므로 순간변화율의 답으로 사용할 수 없다. 위치의 단위가 m라면 평균변화율과 순간변화율의 단위는 모두 m/s이지만, 평균변화율은 한 구간 전체의 변화이고 순간변화율은 특정 시각에서의 변화이다.
변수와 적용 시점을 먼저 확인한 수정
학생은 틀린 줄에 표시한 뒤, 변화시키는 변수가 시간 t인지 확인했다. 순간변화율은 구간의 양 끝값을 임의로 잡는 것이 아니라 도함수 s′(t)를 구한 뒤 해당 시각을 대입해야 한다.
s′(t)=3t2-12t+9
따라서
s′(2)=3(2)2-12(2)+9=12-24+9=-3
이므로 t=2에서의 순간변화율은 -3m/s이다. 음수라는 결과는 해당 시각에 위치가 감소하는 방향으로 움직인다는 뜻이다.
학생은 원래 식에 t=2를 대입해 위치가 s(2)=4m임을 확인하고, 도함수의 부호도 확인했다. 실제로 t=2 부근에서 위치가 감소하므로 -3m/s라는 결과가 함수의 움직임과 일치한다.
계수를 바꾼 독립 검증
같은 풀이를 반복하지 않도록 다음 문제를 새로 제시했다.
위치함수가
q(t)=2t3-5t2+4t+1
일 때 t=1에서의 순간변화율을 구하면
q′(t)=6t2-10t+4
이므로
q′(1)=6-10+4=0
이다. 학생은 q(2)-q(1)을 먼저 계산하지 않고, 도함수를 구한 뒤 시각 t=1을 대입했다. 또한 q(1)=2, q(2)=5이므로 구간 [1,2]의 평균변화율은 3임을 따로 확인해 순간변화율 0과 구분했다.