행당동고1수학과외: 사차방정식을 x²에 대한 이차방정식으로 바꾸는 법
행당동에서 학교 프린트와 교과서 문제를 함께 정리할 때, 사차방정식의 계산보다 먼저 확인할 부분은 새 문자와 원래 문자의 대응이다. 성동구 통학권의 학교별 시험 범위와 수행평가 일정이 겹치는 시기에는 풀이를 빠르게 끝내려다 이 치환 단계가 자주 생략된다.
x⁴과 x²를 같은 덩어리로 보는 순간
다음 식은 x⁴과 x²가 대칭적으로 나타난다.
3x4 - 10x2 + 3 = 0
이때 t = x²라고 놓으면 x⁴은 t²가 되므로 식은
3t² - 10t + 3 = 0
으로 바뀐다. 인수분해하면
(3t - 1)(t - 3) = 0
따라서 t = 1/3 또는 t = 3이다. 그러나 여기서 바로 답을 t = 1/3, 3이라고 쓰면 원래 방정식의 답이 아니다. t = x²였으므로 각각 되돌려야 한다.
x² = 1/3에서 x = ±√3/3, x² = 3에서 x = ±√3을 얻는다. 최종 해는 x = -√3, -√3/3, √3/3, √3이다.
치환식이 빠진 답안에서 생긴 혼동
관찰된 풀이에서는 학생이 첫 줄에 바로 3t² - 10t + 3 = 0을 적고 t = 1/3, 3을 구한 뒤 답란을 비워 두었다. x와 t의 관계를 적지 않았기 때문에, 계산은 이차방정식에서 끝났지만 원래 구해야 할 x의 값으로 돌아오지 못한 것이다.
이 경우 필요한 선수 확인은 복잡하지 않다. t = x²이면 t의 해를 구한 뒤 x² = t로 되돌린다는 대응만 확인하면 된다. 특히 t가 음수라면 실수 범위에서 x² = t를 만족할 수 없다는 점도 함께 판단해야 한다.
풀이의 앞뒤에 같은 문장을 남긴다
풀이를 시작하기 전에는 다음 한 줄을 먼저 적는다.
t = x²로 치환하면 x⁴ = t²이다.
그다음 이차방정식을 풀고, 풀이가 끝난 뒤에는 다시 다음 두 항목을 확인한다.
- 구한 t의 값마다 x² = t로 되돌렸는가?
- t가 x의 값으로 바뀌면서 ±가 필요한 경우를 빠뜨리지 않았는가?
위 예에서는 t = 3에서 x = ±√3, t = 1/3에서 x = ±√3/3을 각각 적는다. 마지막으로 원식에 x²의 값만 대입하면 두 종류의 값이 모두 원식을 0으로 만든다는 것도 확인할 수 있다.
조건이 붙은 문장제에서는 식보다 조건 표시를 먼저 남긴다
새 검증 문제로 다음과 같은 문항을 제시한다.
어떤 실수 x가 3x4 - 10x2 + 3 = 0을 만족하고 x > 1일 때, x의 값을 구하여라.
이번에는 앞의 문제와 달리 조건 x > 1이 추가되었다. 네 근 중 조건을 만족하는 값은 √3뿐이다. 다만 훈련에서는 풀이를 바로 알려주지 않고 문항에 머무는 시간을 정한 뒤, 막히면 뒤의 해결 가능한 문제로 이동하게 한다.
이때 확인할 기록은 정답이 아니라 행동이다. 학생이 문제의 x > 1에 표시하고, 풀이 시작 전에 t = x²를 남겼는지 살핀다. 이후 돌아와 이차방정식을 푼 뒤 원래 문자 x로 복원하고 조건으로 해를 걸러 낸다면, 치환을 계산 요령이 아니라 문제 해결 절차로 적용한 것이다.