변화율의 첫 정의부터 다시 확인하는 고3 수학 학습
용답동에서 성동구 내 무학여자고등학교, 성수고등학교, 도선고등학교, 금호고등학교, 한양대학교사범대학부속고등학교 등을 통학권 참고로 학습 계획을 세울 때는 학교별 시험 범위와 수행평가 일정, 평일 귀가 시간을 함께 고려해야 한다. 이 학생은 귀가 후 풀이를 정리하면서 같은 계산을 반복했지만, 속도와 가속도의 정의가 갈라지는 첫 줄을 찾지 못하고 있었다.
속도와 가속도를 한 번에 구분하기
위치 함수가
s(t)=t3-6t2+9t+2 (0≤t≤4)
일 때 속도는 위치의 변화율이고, 가속도는 속도의 변화율이다.
v(t)=s'(t)=3t2-12t+9
a(t)=v'(t)=s''(t)=6t-12
그런데 학생은 가속도를 구하는 과정에서
a(t)=s'(t)=3t2-12t+9
라고 적었다. 이 식은 가속도가 아니라 속도이므로 오답이다. 위치를 한 번 미분하면 속도, 속도를 한 번 더 미분해야 가속도가 된다는 변수의 관계를 놓친 것이다.
틀린 줄을 표시하고 조건까지 검산하기
- 틀린 줄 표시: a(t)=s'(t)에 밑줄을 긋는다.
- 관계 확인: 위치는 s(t), 속도는 v(t)=s'(t), 가속도는 a(t)=v'(t)임을 옆에 적는다.
- 식 수정: a(t)=s''(t)=6t-12로 고쳐 다시 계산한다.
- 대입 검산: t=1에서 v(1)=0, a(1)=-6이므로 두 값이 같지 않음을 확인한다.
- 정의역 확인: 문제의 시간 범위가 0≤t≤4이므로 수직선에 0과 4를 표시하고, 그 밖의 시간 값을 답에 사용하지 않는다.
또한 a(t)=6t-12에서 0≤t<2이면 가속도가 음수이고, t=2에서는 0, 2<t≤4에서는 양수이다. 단순히 식을 계산하는 데서 끝내지 않고 시간 구간에 따른 변화까지 해석해야 한다.
계수를 바꾼 독립 검증
같은 유형을 반복하지 않기 위해 다음 문제를 새로 풀었다.
s(t)=2t3-5t2-4t+7 (1≤t≤3)
학생은 먼저
a(t)=s'(t)=6t2-10t-4
라고 쓰려 했지만, 이 역시 속도에 해당하는 식이다. 정확히는
v(t)=s'(t)=6t2-10t-4
a(t)=v'(t)=s''(t)=12t-10
이다. 예를 들어 t=1에서 a(1)=2, t=3에서 a(3)=26으로 계산된다. 마지막으로 a(t)=0을 풀면 t=5/6인데, 이는 주어진 범위 1≤t≤3 밖이므로 해당 운동 구간에서는 가속도가 0이 되는 순간이 없다고 판정했다.