용답동고1수학과외: 삼차방정식의 한 근에서 이차식까지 남기는 과정
용답동에 해당 지역명 주소의 고등학교는 확인되지 않으므로, 성동구의 무학여자고등학교·성수고등학교·도선고등학교·금호고등학교·한양대학교사범대학부속고등학교 등을 통학권 참고 대상으로 삼아 학교별 시험 범위와 귀가 후 학습 시간을 함께 조정할 수 있다. 삼차방정식 단원에서는 한 근을 찾은 뒤 그 값을 근거로 인수정리를 적용하고, 반드시 남은 이차식을 확인해야 한다.
나머지가 0인 순간에 멈추지 않는 풀이
다음 방정식을 보자.
x³ - 4x² + x + 6 = 0
x=2를 대입하면
2³ - 4·2² + 2 + 6 = 8 - 16 + 2 + 6 = 0
이때 x=2가 근이라는 사실은 곧 x-2가 인수라는 뜻이다. 따라서 방정식은
(x-2)(x²-2x-3)=0
으로 바뀐다. 남은 이차식을 다시 인수분해하면
(x-2)(x-3)(x+1)=0
이므로 세 근은 x=2, 3, -1이다.
학생 답안에서 사라진 한 줄
학생은 2를 대입해 계산한 뒤 결과가 0이 되자 답안에 근을 적지 않고 바로 다음 계산으로 넘어갔다. 여백에도 x=2 확인이나 x-2로 나누기라는 표시가 없었다. 이 경우 계산 결과 자체는 맞더라도, 발견한 근과 남은 이차식의 연결이 기록되지 않아 이후 풀이를 검토하기 어렵다.
2를 대입한 값이 0 → x=2는 근 → x-2는 인수 → 삼차식을 x-2로 나누어 이차식을 남김
조립제법을 쓰면 계수는 다음처럼 이어진다.
2 | 1 -4 1 6
2 -4 -6
1 -2 -3 0
마지막 0은 나머지이고, 그 앞의 계수 1, -2, -3이 남은 이차식 x²-2x-3의 계수다. 따라서 나머지가 0인 것을 확인한 즉시 멈추지 말고, 그 줄에서 인수와 이차식을 함께 표시해야 한다.
빠진 위치부터 다시 쓰는 수정 방식
오답을 전부 지우기보다 학생이 건너뛴 위치에 표시를 남긴다. 먼저 2를 대입한 계산 아래에 ‘근 확인’을 적고, 이어서 x-2를 인수로 쓴다. 그다음 조립제법의 마지막 0을 확인한 뒤, 몫을
x²-2x-3
으로 옮겨 적는다. 마지막에는
(x-2)(x²-2x-3)=0
을 원래 식과 곱셈으로 확인한다. 실제로
(x-2)(x²-2x-3)=x³-4x²+x+6
이므로 인수와 몫이 정확히 연결된다.
부호가 바뀐 문제에서 다시 확인하기
새 조건에서는 가운데항의 부호를 바꾸어
x³ - 4x² - x + 4 = 0
을 제시한다. x=1을 대입하면
1 - 4 - 1 + 4 = 0
이므로 x-1이 인수다. 조립제법을 적용하면 몫은
x²-3x-4=(x-4)(x+1)
이다. 따라서 해는 x=1, 4, -1이다.
이 검증에서는 학생이 부호를 먼저 분리해 확인한 뒤 절댓값 계산을 섞지 않고, 대입 계산 → 나머지 0 확인 → 인수 표시 → 이차식 기록의 순서를 혼자 유지하는지 본다. 풀이 옆에 각 단계를 설명할 수 있어야, 한 근을 찾은 뒤 이차식을 남기는 과정이 실제로 이어진 것으로 판단한다.