왕십리고3수학과외

왕십리 고3수학과외: 부호표 다음에 반드시 함수값을 확인하는 연습

왕십리의 도선고등학교와 성동구 내 무학여자고등학교, 성수고등학교, 금호고등학교, 한양대학교사범대학부속고등학교 등을 오가는 고3 학생은 통학과 과제, 시험 준비가 동시에 늘어난다. 이때 부등식 증명을 처음부터 다시 쓰기보다, 풀이가 처음 어긋난 줄을 찾는 습관이 시간을 줄인다.

도함수의 부호만으로 결론을 내린 오답

학생은 다음 문제에서 함수의 최솟값을 구하고 있었다.

문제 \(f(x)=x^3-3x^2-9x+10\)일 때, \(-1\le x\le3\)에서 \(f(x)\ge-17\)임을 보여라.

정확한 도함수는

\[ f'(x)=3x^2-6x-9=3(x+1)(x-3) \]

학생의 답안에는 다음과 같은 오답이 적혀 있었다.

\(-1

이 식은 틀렸다. \(f'(x)<0\)은 함수가 해당 구간에서 감소한다는 뜻일 뿐, 함수값 \(f(x)\)가 음수라는 뜻이 아니다. 실제로 \(f(-1)=15\)이므로 구간 안에서 양수인 함수값도 존재한다.

첫 불일치를 표시하고 함수값 기준을 세우기

• 첫 오류 표시: \(f'(x)<0\Rightarrow f(x)<0\)이라고 바꾼 줄에 밑줄을 긋는다.
• 조건 확인: \(f'(x)=3(x+1)(x-3)\)이므로 \(-1
• 식 수정: 감소 함수이므로 구간의 최솟값은 오른쪽 끝점에서 생긴다.
• 함숫값 계산: \(f(3)=27-27-27+10=-17\)이다.

따라서

\[ f(x)\ge f(3)=-17\qquad(-1\le x\le3) \]

이다. 학생은 표의 첫 칸에 \(x\in[-1,3]\)을 적고, 대표값 \(x=0,2\)를 대입해 \(f(0)=10,\ f(2)=0\)임을 확인했다. 두 값 모두 \(-17\)보다 크므로 도함수의 부호와 함수값 기준을 혼동하지 않았는지 원식과 대조했다.

조건을 바꾼 독립 검증

같은 절차를 다음 문제에 적용했다.

\[ g(x)=x^3-6x^2+9x+4,\qquad 1\le x\le4 \]

이때

\[ g'(x)=3x^2-12x+9=3(x-1)(x-3) \]

이므로 \(1

\[ g(3)=27-54+27+4=4 \]

이고, 양 끝에서는 \(g(1)=8,\ g(4)=8\)이다. 따라서 \(1\le x\le4\)에서 \(g(x)\ge4\)이다. 이번에는 도함수 부호만 적지 않고 임계점과 양 끝점의 함수값을 함께 확인해 풀이를 완성했다.