왕십리 고2수학과외에서 짚는 지수부등식의 해의 교집합
왕십리센트라스아파트와 왕십리KCC스위첸아파트 생활권에서 도선고등학교로 이동하며 과제와 시험 준비를 병행할 때는 풀이를 길게 쓰기보다, 부등식의 방향과 해의 범위를 한 줄씩 보존하는 습관이 중요하다. 지수부등식에서는 각각의 조건을 푼 뒤 마지막에 연립조건의 교집합을 확인해야 한다.
두 조건을 각각 푼 뒤 합집합으로 바꾼 오답
다음 연립부등식을 풀어 보자.
\[ \begin{cases} x>1\\ 2^x<8 \end{cases} \]
첫 번째 조건은 그대로 \(x>1\)이다. 두 번째 조건에서는 \(8=2^3\)이고 밑 \(2\)가 \(1\)보다 크므로 부등호 방향이 바뀌지 않는다.
\[ 2^x<2^3 \quad\Longrightarrow\quad x<3 \]
따라서 두 조건을 동시에 만족해야 하므로 해는
\[
x>1 \quad\text{그리고}\quad x<3
\quad\Longrightarrow\quad 1
그런데 답안에 \(x>1\)과 \(x<3\)을 각각 적은 뒤 \(x>1\) 또는 \(x<3\)으로 연결해 전체 실수를 해로 적었다면, 연립조건의 의미를 바꾼 것이다. 실제로 \(x=0\)을 대입하면 \(x>1\)을 만족하지 않으므로 원래 연립부등식의 해가 될 수 없다. 두 조건을 동시에 만족하는 범위는 수직선에서 겹치는 부분만 남겨야 한다.
밑의 범위가 부등호 방향을 결정한다
학생이 계산 줄에서 자주 놓치는 부분은 지수의 밑을 확인하지 않고 지수를 비교하는 것이다. 예를 들어
\[ \left(\frac12\right)^x>\left(\frac12\right)^2 \]
에서는 밑이 \(0<\frac12<1\)이므로 지수함수가 감소한다. 따라서 부등호가 뒤집혀
\[ x<2 \]
가 된다. 밑이 \(2\)일 때의 \(x<3\)과 같은 방식으로 처리하면 안 된다. 답안에는 먼저 밑의 범위를 표시하고, 그다음 지수 비교 줄을 남겨야 한다.
교집합을 답안에 직접 표시하는 훈련
연립부등식을 풀 때 다음 세 줄을 고정해 쓴다.
\[ \begin{aligned} &x>1\\ &2^x<8=2^3\Rightarrow x<3\\ &\therefore\ x>1\ \cap\ x<3=(1,3) \end{aligned} \]
여기서 \(\cap\)는 두 조건을 동시에 만족하는 교집합이다. \(x=2\)는 두 조건을 모두 만족하지만, \(x=0\)은 \(2^x<8\)만 만족하고 \(x>1\)은 만족하지 않는다. 이런 대입 검사를 통해 합집합으로 잘못 연결했는지 확인할 수 있다.
표에서 기준을 옮겨 해의 범위를 확인하기
다음 변형 문제를 표로 정리해 보자.
\[ \begin{cases} x\ge -1\\ \left(\frac13\right)^x\ge \left(\frac13\right)^2 \end{cases} \]
밑이 \(0<\frac13<1\)이므로 두 번째 조건은 \(x\le2\)이다.
| 조건 | 해 |
|---|---|
| \(x\ge-1\) | \([-1,\infty)\) |
| \(\left(\frac13\right)^x\ge\left(\frac13\right)^2\) | \((-\infty,2]\) |
| 연립조건 | \([-1,2]\) |
따라서 최종 해는 \(-1\le x\le2\)이다. \(x=3\)을 넣으면 첫 번째 조건은 맞지만 두 번째 조건은 \(\frac1{27}\ge\frac19\)가 아니므로 탈락한다. 새로운 숫자와 밑이 제시되어도 밑의 범위, 부등호 방향, 해의 교집합을 차례로 표에 옮겼다면 독립적으로 풀이한 것이다.