마장동 통학 뒤 자습시간에 완성하는 부등식 증명
마장동금호아파트 등 생활권에서 성동구 내 무학여자고등학교, 성수고등학교, 도선고등학교, 금호고등학교 등을 오가는 학생은 방과 후 이동 뒤 짧은 자습시간에도 풀이의 핵심 조건을 먼저 기록해야 한다. 이 학생은 부등식에서 함수의 최솟값을 확인하지 않고 성립한다고 결론내리는 실수가 반복되고 있었다.
최솟값을 확인하지 않은 오답
문제: 구간 \(0\le x\le2\)에서 다음 부등식을 증명하여라.
\[ x^3-3x+2\ge0 \]
학생은 다음과 같이 적었다.
\[ f(x)=x^3-3x+2,\quad f'(x)=3x^2-3 \]
\[ f'(x)\ge0\quad\text{이므로}\quad f(x)\ge0 \]
이 식은 틀렸다. \(0\le x<1\)에서는 \(3x^2-3<0\)이므로 함수가 감소하고, \(1
도함수의 부호에서 최솟값까지 연결하기
먼저 임계점을 구한다.
\[ f'(x)=3(x-1)(x+1) \]
구간 \(0\le x\le2\) 안의 임계점은 \(x=1\)이다. 도함수의 부호는 다음과 같다.
- \(0\le x<1\): \(f'(x)<0\), 따라서 \(f(x)\)는 감소한다.
- \(1
그러므로 최솟값은 \(x=1\)에서 갖는다.
\[ f(1)=1-3+2=0 \]
따라서 모든 \(x\in[0,2]\)에 대하여
\[ \boxed{x^3-3x+2\ge0} \]
이다. 실제로 식을 인수분해해도 같은 결론을 확인할 수 있다.
\[ x^3-3x+2=(x-1)^2(x+2) \]
\(x+2>0\), \((x-1)^2\ge0\)이므로 최솟값 \(0\)이라는 결과와 일치한다.
답안 수정과 검산 습관
학생은 틀린 줄에 밑줄을 긋고, “도함수의 부호가 구간 전체에서 같은가?”와 “임계점과 양 끝점 중 최솟값을 만드는 곳은 어디인가?”를 옆에 적었다. 이후 잘못된 문장인 \(f'(x)\ge0\Rightarrow f(x)\ge0\)를 삭제하고, 감소·증가 구간과 \(f(1)=0\)을 차례로 기록했다.
마지막에는 \(x=0,1,2\)를 대입해 \(f(0)=2\), \(f(1)=0\), \(f(2)=4\)를 확인했다. 그래프가 \(x=1\)에서 \(x\)축에 닿고 양끝에서 양수라는 점도 함께 확인하여 최솟값 판단을 검산했다.
구간을 바꾼 독립 검증
새 문제로 \(1\le x\le3\)에서
\[ g(x)=x^3-6x+8 \]
의 최솟값을 구했다.
\[ g'(x)=3x^2-6=3(x-\sqrt2)(x+\sqrt2) \]
구간 안의 임계점은 \(x=\sqrt2\)이고, \(1\le x<\sqrt2\)에서 감소한 뒤 \(\sqrt2
\[ g(\sqrt2)=(\sqrt2)^3-6\sqrt2+8 =2\sqrt2-6\sqrt2+8 =8-4\sqrt2 \]
이다. 양 끝값은 \(g(1)=3\), \(g(3)=17\)이고 \(8-4\sqrt2\approx2.34\)이므로 최솟값은 \(8-4\sqrt2\)이다. 구간과 함수식이 바뀌어도 임계점, 도함수 부호, 최솟값, 대입 검산의 순서를 지켜 부등식을 정확히 마무리했다.