마장동고2수학과외

마장동 고2수학과외, 지수부등식의 해는 왜 교집합인가

마장동에서 통학 후 자습 시간을 확보하는 학생의 풀이를 점검하던 중, 지수부등식의 계산보다 마지막 해석에서 오류가 반복됐다. 성동구 내 무학여자고등학교, 성수고등학교, 도선고등학교, 금호고등학교 등의 통학권을 고려하면 짧은 시간 안에 풀이를 정리하는 습관이 필요하지만, 이 문제에서는 속도보다 조건을 끝까지 남기는 태도가 먼저다.

x>1과 2^x<8을 따로 푼 뒤

다음 연립조건을 살펴보자.

x>1,　2^x<8

밑 2는 지수함수의 밑 조건인 2>0, 2≠1을 만족한다. 또한 2^x는 증가하므로

2^x<8=2³　→　x<3

이다. 따라서 각각의 해는

x>1　→　(1, ∞)
2^x<8　→　(-∞, 3)

이고, 두 조건을 동시에 만족해야 하므로 공통 부분인

(1, 3)

이 최종 해다. 연립조건에서는 두 조건을 모두 만족해야 하므로 합집합이 아니라 교집합을 사용한다.

합집합으로 바뀐 한 줄

풀이 과정에서 다음과 같은 답안이 나왔다.

달라진 기호는 ∪에서 ∩으로 바뀐 하나뿐이지만, 의미는 크게 다르다. 합집합은 둘 중 하나만 만족해도 포함시키는 방식이고, 연립부등식은 두 조건을 함께 만족해야 하므로 교집합을 취한다. 이때 밑의 조건도 풀이 초기에 적어 두어야 한다.

밑 조건: 2>0, 2≠1
해의 조건: x>1, x<3

계수 위치가 달라졌을 때의 확인

다음 문제에서는 계수와 밑이 달라진다.

x>1,　2·3^x<54

먼저 양변을 2로 나누면

3^x<27=3³

이다. 밑 3은 1보다 크므로 부등호 방향을 유지하여 x<3을 얻는다. 따라서

(1, ∞) ∩ (-∞, 3) = (1, 3)

이 된다. 계수를 처리하기 전에 밑이 3이고, 3>1이므로 증가함수라는 판단을 스스로 선택했는지 확인한다. 마지막에는 두 범위를 나란히 적은 뒤 교집합 기호를 사용해야 한다.