잠원동 고3 수학과외에서 확인한 실근 개수 판단
잠원동에서 방과 후 이동을 마친 뒤 확보한 자습 시간에 한 학생은 방정식의 실근 개수를 빠르게 판단하려고 했습니다. 그러나 서초구 통학권의 상문고등학교, 서울고등학교, 반포고등학교 등에서 다루는 고3 수준의 함수 문제에서는 통학 후 계산 속도보다 함수의 증가·감소와 극값의 위치를 먼저 연결하는 습관이 중요합니다.
도함수의 영점과 원방정식의 해를 구분하기
학생이 풀이한 문제는 다음과 같습니다.
방정식 \(x^3-3x+1=0\)의 서로 다른 실근의 개수를 구하여라.
학생의 답안에는 다음과 같이 적혀 있었습니다.
f'(x)=3x²-3=0에서 x=±1이므로 도함수의 해가 2개이다. 따라서 f(x)=0의 실근도 2개이다.
이 결론은 틀렸다. \(f'(x)=0\)의 해는 원함수의 그래프에서 접선의 기울기가 0인 임계점의 개수일 뿐, \(f(x)=0\)의 실근 개수와 같다고 볼 수 없다.
부호표와 극값으로 그래프의 위치 확인
먼저 도함수를 정확히 계산하면
\[ f'(x)=3x^2-3=3(x-1)(x+1) \]
이므로 임계점은 \(x=-1,1\)이다. 부호를 구간별로 확인하면
- \(x<-1\)에서 \(f'(x)>0\)
- \(-1<x<1\)에서 \(f'(x)<0\)
- \(x>1\)에서 \(f'(x)>0\)
따라서 \(x=-1\)에서는 극대, \(x=1\)에서는 극소가 된다. 이제 함수값을 계산한다.
\[ f(-1)=-1+3+1=3,\qquad f(1)=1-3+1=-1 \]
왼쪽 끝에서 \(f(x)\to-\infty\), 오른쪽 끝에서 \(f(x)\to\infty\)이고, 극대값은 양수 \(3\), 극소값은 음수 \(-1\)이다. 그러므로 그래프는 x축을 세 번 지난다. 원방정식의 실근 개수는 3개이다.
틀린 줄을 표시하고 다시 검산한 과정
학생은 답안의 “도함수의 해가 2개이므로 원방정식의 실근도 2개이다”라는 줄에 표시했습니다. 이후 임계점의 개수와 원함수의 영점 개수는 서로 다른 대상임을 확인하고, 각 임계점에서의 함수값을 대입했습니다.
\[ f(-1)=3>0,\qquad f(1)=-1<0 \]
또한 실제 근의 위치도 부호로 점검했습니다.
\[ f(-2)=-1<0,\quad f(-1)=3>0 \]
\[ f(0)=1>0,\quad f(1)=-1<0 \]
\[ f(1)=-1<0,\quad f(2)=3>0 \]
따라서 각각 \((-2,-1)\), \((0,1)\), \((1,2)\)에 한 개씩 근이 존재한다. 극대·극소 사이의 증가와 감소가 명확하므로 각 구간에서 근이 더 생길 수도 없다.
계수를 바꾼 문제로 독립 검증
같은 식을 반복하지 않고 다음 문제로 판단 순서를 확인했다.
구간 전체에서 \(g(x)=2x^3-3x-2\)가 0이 되는 실근의 개수를 구하여라.
도함수는
\[ g'(x)=6x^2-3=3(2x^2-1) \]
이므로 임계점은 \(x=\pm\frac{1}{\sqrt2}\)이다. 두 점에서의 함수값은
\[ g\left(-\frac1{\sqrt2}\right)=\sqrt2-2<0 \]
\[ g\left(\frac1{\sqrt2}\right)=-\sqrt2-2<0 \]
극대값과 극소값이 모두 음수이고, \(x\to-\infty\)에서 \(g(x)\to-\infty\), \(x\to\infty\)에서 \(g(x)\to\infty\)이므로 그래프는 오른쪽에서 x축을 한 번만 만난다. 따라서 이 방정식의 실근 개수는 1개이다.