잠원동고2수학과외

3^x<5에서 로그를 취하기 전 확인할 것

잠원동고2수학과외 학습에서는 방과후 이동 뒤 짧게 확보한 자습시간에도 계산보다 먼저 부등식의 방향을 결정하는 조건을 확인해야 한다. 최근 풀이에서 3x<5를 본 뒤 곧바로 양변에 로그를 취했지만, 로그의 밑이 부등식의 방향에 어떤 영향을 주는지는 적지 않았다.

밑 3은 1보다 크므로 부등호가 그대로 유지된다

밑이 3인 로그함수는 밑이 1보다 크기 때문에 증가함수이다. 따라서

3^x<5

에서 양변에 log3를 취하면

log₃(3^x) < log₃5

이고, 왼쪽을 정리하여

x < log₃5

를 얻는다. 여기서 확인한 조건은

밑 3>0, 3≠1, 진수 3^x>0 및 5>0

이다. 특히 3x>0은 모든 실수 x에서 성립하므로 해의 범위를 추가로 제외할 필요가 없다.

같은 모양이어도 밑이 1보다 작으면 방향이 달라진다

다음 두 부등식 중 로그 비교를 같은 방식으로 적용할 수 있는 것을 먼저 골라 보자.

(가) (1/3)^x<5
(나) (-2)^x<5

(가)는 밑 1/3이 양수이고 1이 아니므로 로그함수를 사용할 수 있다. 다만 0<1/3<1이어서 로그함수가 감소한다. 따라서

log_1/3((1/3)^x) > log_1/35

가 되고, 해는 x > log_1/35이다.

(나)는 밑이 음수이므로 실수 범위의 지수함수와 로그함수 비교에 사용할 수 없다. 따라서 두 문제에 동일한 로그 비교 절차를 적용해서는 안 된다.

계산 전 네모 조건을 답안에 남기기

부등식 옆에 다음처럼 먼저 적는다.

□ 로그 밑: 0<a, a≠1
□ a>1이면 방향 유지
□ 0<a<1이면 방향 반대

그 뒤 3x<5에는 a=3>1을 대입해 방향 유지를 표시한다. 반대로 (1/3)x<5에는 0<a<1을 표시해 부등호를 뒤집는다. 이 확인을 풀이의 첫 줄에 남겨야 계산 결과만 맞고 근거가 빠지는 일을 줄일 수 있다.

밑과 비교할 수 없는 식을 구별하는 검증

새 조건으로 2^x>7과 (1/2)^x>7을 제시했을 때, 먼저 두 밑이 모두 로그의 허용 범위에 있는지 확인한다. 첫 번째는 2>1이므로

x > log₂7

이다. 두 번째는 0<1/2<1이므로 부등호가 바뀌어

x < log_1/27

이 된다. 두 결과의 방향이 다른 이유를 밑의 범위와 연결해 설명했다면, 새로운 계수와 밑에서도 로그 비교 조건을 스스로 적용한 것이다.