서대문구고3수학과외

서대문구 고3수학과외, 증가·감소 부호표에서 첫 오류 찾기

남가좌동이나 홍제동처럼 통학 거리가 다른 학생은 풀이를 정리할 수 있는 시간이 달라질 수 있다. 명지고등학교, 가재울고등학교, 중앙여자고등학교 등 서대문구의 학교에 다니더라도 같은 방식으로 오답을 지우기보다, 실제 답안의 어느 줄에서 조건이 깨졌는지 남기는 연습이 필요하다.

함숫값 비교가 끝난 뒤 부호표가 바뀐 지점

학생은 함수 f(x)=x³-3x²-9x+5의 증가와 감소를 조사하면서 다음과 같이 계산했다.

f '(x)=3x²-6x-9=3(x-3)(x+1)

임계점은 x=-1, 3

x<-1에서 f '(x)<0, -1<x<3에서 f '(x)>0, x>3에서 f '(x)<0

첫 두 줄은 맞지만 마지막 부호가 틀렸다. x=4를 대입하면 f '(4)=3(1)(5)=15>0이므로 x>3에서도 증가한다. 학생은 이 첫 불일치를 표시하지 않고 앞의 맞는 줄까지 모두 지워 오답 원인을 찾지 못했다.

틀린 줄만 남기고 조건을 다시 연결하기

• 틀린 줄 표시: x>3에서 f '(x)<0에 밑줄을 긋는다.
• 변수 관계 확인: 세 인수 중 3은 양수이고, x-3과 x+1의 부호를 임계점 양옆에서 각각 확인한다.
• 식 수정: 부호는 (-, +, +)이므로 f(x)는 (-∞,-1)에서 감소하고, (-1,3)과 (3,∞)에서 증가한다.
• 끝점 확인: 도함수가 0인 -1과 3은 증가·감소 구간의 내부가 아니므로 구간 표기에 포함 여부를 따로 적는다.

또한 f(-1)=10, f(3)=-22를 계산해 x=-1에서 극대, x=3에서 극소가 되는지 확인한다. 마지막으로 수정한 도함수를 적분하면 ∫(3x²-6x-9)dx=x³-3x²-9x+C가 되어 원래 함수 구조와도 일치한다.

계수를 바꾼 문제로 혼자 검증하기

다음 함수로 같은 방법을 적용한다.

g(x)=2x³-3x²-12x+1

g '(x)=6x²-6x-12=6(x-2)(x+1)이므로 임계점은 -1, 2이다. 시험값을 넣으면 g '(-2)=36>0, g '(0)=-12<0, g '(3)=24>0이다. 따라서 증가 구간은 (-∞,-1), (2,∞), 감소 구간은 (-1,2)이다.

그래프 모양만 보고 판단하지 않고 시험값으로 부호를 확정한 뒤, ∫(6x²-6x-12)dx=2x³-3x²-12x+C를 계산해 도함수와 원함수의 관계까지 검산한다.