서대문구고2수학과외

서대문구 고2수학과외, 지수부등식에서 치환 뒤 양수 범위를 끝까지 확인하기

남가좌동이나 홍은동처럼 귀가 시간과 학교 프린트 정리 시간이 다른 생활권에서는 한 문제를 푸는 과정도 학생마다 달라진다. 서대문독립공원 인근에서 수업을 마친 뒤 풀이를 점검하는 학생의 답안에서, 계산보다 먼저 확인해야 할 조건이 빠진 장면이 발견되었다.

t=2^x로 바꾼 뒤 사라진 조건

문제는 다음과 같다.

2^2x−5·2^x+6≤0

학생은 t=2^x로 치환한 뒤

t²−5t+6≤0

을 얻고,

(t−2)(t−3)≤0이므로 t≤0 또는 2≤t≤3

이라고 적었다. 여기서 이차부등식 자체의 부호표만 적용하면서 t≤0 구간을 포함한 것이다. 그러나 t는 임의의 실수가 아니라 t=2^x이다. 밑 2가 양수이고 0이 아니므로 모든 실수 x에 대해 2^x>0이다. 따라서 t≤0은 치환으로 만들어질 수 없는 범위다.

정확한 부호표는 t=2, 3을 기준으로

t≤2: 양수, 2≤t≤3: 음수 또는 0, t≥3: 양수

이므로 이차부등식의 해는 2≤t≤3이다. 다시 치환을 되돌리면

2≤2^x≤3

이고, 밑 2는 1보다 크므로 부등호 방향이 바뀌지 않는다.

1≤x≤log₂3

가 최종 답이다. 답안에 t≤0을 남겼다면 그 줄의 t를 다시 2^x로 복원해 보아야 한다. 2^x≤0은 성립할 수 없으므로, 치환 과정에서 허용되지 않는 후보였음이 즉시 드러난다.

부호표 옆에 반드시 남길 두 줄

이 유형에서는 치환 직후 다음을 함께 적는다.

t=2^x>0
(t−2)(t−3)≤0 → 2≤t≤3

첫 줄은 치환된 문자의 범위를 제한하고, 둘째 줄은 이차식의 부호를 계산한 결과다. 두 줄을 분리하면 이차부등식의 해와 실제 치환 가능한 해를 혼동하지 않게 된다. 이후 로그로 되돌릴 때도 밑 2가 1보다 큰지 확인해야 하므로 2≤2^x≤3에서 부등호 방향을 그대로 유지할 수 있다.

계수가 달라진 식에서 조건을 먼저 세우는지 확인

다음 식으로 풀이 순서를 점검한다.

4^x−5·2^x+4<0

이번에는 t=2^x>0을 먼저 기록하면

t²−5t+4<0
(t−1)(t−4)<0

이므로 부호가 음수인 구간은 1<t<4이다. 양수 조건과도 모순되지 않는다. 원래 치환으로 돌아가면

1<2^x<4

이고 밑 2가 1보다 크므로

0<x<2

이다. 이때도 t≤0 같은 구간을 자동으로 붙이지 않고, 치환의 범위와 부호표를 각각 확인했는지가 풀이의 기준이 된다.

명지고등학교, 가재울고등학교 등 서대문구의 학교별 학습 일정이 다르더라도 이 문제에서 확인할 행동은 분명하다. 치환문자 옆에 양수 조건을 쓰고, 부호표에서 얻은 구간을 원래 지수식으로 되돌린 뒤 가능한 범위인지 검산하는 것이다.