홍제동중3수학과외, 속력·거리 문제에서 조건을 먼저 판별하는 연습
“집에서 학교까지 1.2km를 시속 4km로 걸으면 몇 분 걸리는가?”라는 문제를 본 학생이 곧바로 1.2×4를 계산해 4.8이라는 답을 적었다. 숫자를 식에 넣기는 했지만, 구하는 대상이 시간이고 속력과 거리를 곱한 상황이 아니라는 점을 놓친 것이다. 중3 속력·거리 문제에서 막히는 지점은 복잡한 계산보다 문제 속 조건을 거리, 속력, 시간으로 나누어 읽는 첫 단계에 있다.
곱셈부터 시작하면 구하는 양이 바뀐다
속력·거리 문제는 다음 관계를 기준으로 읽는다.
거리 = 속력 × 시간
속력 = 거리 ÷ 시간
시간 = 거리 ÷ 속력
위 문제에서는 거리가 1.2km, 속력이 시속 4km이므로 구하는 시간은
1.2 ÷ 4 = 0.3시간
이다. 0.3시간을 분으로 바꾸면 0.3×60=18분이 된다. 학생이 처음 쓴 4.8은 단위도 시간과 맞지 않는다. 풀이를 고칠 때 단순히 “나눗셈을 써야 한다”고 외우게 하지 않고, 식 옆에 ‘구하는 양: 시간’, ‘주어진 양: 거리와 속력’을 직접 적게 했다. 그 다음 거리·속력·시간 중 빈칸을 표시해 관계식을 선택하도록 했다.
시간을 구할 때는 이동한 거리에서 속력을 나눈다. 단, 거리와 속력의 단위를 먼저 맞춘다.
분과 시간 단위를 한 줄에서 분리하기
다음 문제에서 학생은 더 오래 멈췄다.
“어떤 자전거가 12분 동안 3.6km를 이동했다. 이 자전거의 평균 속력은 분속 몇 m인가?”
학생은 3.6÷12=0.3이라고 계산한 뒤 “분속 0.3km”라고 적었다. 계산의 방향은 맞았지만, 문제에서 요구한 단위인 m와 현재 거리 단위인 km가 연결되지 않았다. 이때 먼저 3.6km를 3600m로 바꾸고,
3600÷12=300
으로 계산해야 한다. 따라서 평균 속력은 분속 300m이다.
수정 과정에서는 숫자를 바로 계산하지 않고, 문제 오른쪽에 단위만 따로 옮기게 했다. km와 m가 섞이면 거리를 하나로 통일하고, 시간은 시와 분 중 하나로 통일한다. 시속으로 답해야 하는데 시간이 분으로 주어진 경우에는 12분을 0.2시간으로 바꾸어 3.6÷0.2=18, 즉 시속 18km로 나타낼 수 있다. 같은 상황을 단위만 바꾸어 표현한 것이므로 결과가 서로 맞는지도 확인한다. 시속 18km는 분속 300m와 같다.
두 구간의 평균 속력을 따로 계산하지 않기
학생이 가장 쉽게 잘못 판단한 문제는 왕복 상황이었다.
“집에서 학원까지 2km를 시속 4km로 가고, 돌아올 때는 시속 6km로 이동했다. 왕복 전체의 평균 속력은 얼마인가?”
학생은 4와 6의 평균을 내어 시속 5km라고 답했다. 그러나 두 구간의 거리가 같아도 걸린 시간이 다르므로 속력의 산술평균을 바로 사용할 수 없다. 전체 거리는 4km이다. 갈 때 걸린 시간은 2÷4=0.5시간, 돌아올 때는 2÷6=1/3시간이다. 전체 시간은 5/6시간이므로 평균 속력은
4 ÷ 5/6 = 24/5
즉 시속 4.8km이다.
이 오류를 고치기 위해 ‘평균 속력’을 각 속력의 평균으로 처리하지 않고, 먼저 전체 거리와 전체 시간을 구하게 했다. 두 구간의 거리가 같다는 조건은 속력의 평균을 구하라는 뜻이 아니라, 각각의 시간을 계산할 수 있게 하는 정보다. 학생은 풀이 첫 줄에 전체 거리, 둘째 줄에 전체 시간을 따로 적은 뒤 마지막에 나누었다.
홍제동의 이동 시간을 학습 조건으로 바꾸는 방식
홍제동에서 인왕중학교로 등교하거나 방과후 이동을 마친 뒤 공부하는 학생이라면 실제 이동 시간을 속력·거리 문제의 조건으로 바꾸어 볼 수 있다. 다만 학교까지의 실제 거리나 특정 역·아파트·상권을 확인하지 않은 채 임의의 동선을 정하지는 않는다. 인왕중학교는 홍제동 지역 내 중학교로 확인되며, 가재울중학교·동명여자중학교·명지중학교·서연중학교는 같은 서대문구의 통학권 참고 학교로 구분해 다룬다.
예를 들어 학생이 자신의 실제 이동 거리를 지도나 안내 자료로 확인한 뒤, 이동 거리와 소요 시간을 기록하게 한다. 거리가 900m이고 12분이 걸렸다면 평균 속력은 분속 75m이다. 이를 시속으로 바꾸면 75×60=4500m이므로 시속 4.5km이다. 방과후 이동 뒤 확보할 수 있는 자습시간을 계산할 때도 “이동 시간이 15분 줄면 공부 시간이 몇 분 늘어나는가”처럼 시간의 단위를 분명히 하도록 한다. 지역의 통학 동선을 홍보하는 것이 아니라, 실제 이동 기록을 수학 조건으로 읽는 연습에 활용하는 방식이다.
숫자와 질문을 바꾼 새 문제에서 확인하기
같은 문제를 다시 풀어 맞혔다고 바로 이해했다고 판단하지 않았다. 다음에는 조건을 바꾸었다.
“한 학생이 1.5km를 자전거로 이동하는 데 6분이 걸렸다. 같은 속력으로 2.75km를 이동하면 몇 분이 걸리는가?”
학생은 먼저 1.5km를 6분으로 나누어 분속 0.25km를 구했다. 이어 2.75÷0.25=11이므로 11분이라고 답했다. 이번에는 거리와 시간이 함께 주어지고 새 거리의 시간을 구하는 문제였지만, ‘구하는 양이 시간인지’, ‘단위가 같은지’, ‘거리÷속력인지’를 도움 없이 판단했다.
마지막으로 “6분 동안 1.5km”를 “시속 몇 km”로 묻는 형태로 바꾸었다. 학생은 6분을 0.1시간으로 변환한 뒤 1.5÷0.1=15라고 계산했다. 숫자를 외워 답한 것이 아니라, 속력·거리·시간 중 무엇을 구하는지 먼저 결정하고 단위를 통일한 뒤 관계식을 적용하는지를 확인한 것이다.