홍제동중2수학과외, 가감법에서 계수를 맞추는 순간을 놓치지 않도록
연립일차방정식을 풀 때 답은 맞히는데 풀이 중간에서 멈추는 학생이 있다. 특히 두 식의 계수가 이미 같거나 반대인 문제는 풀면서도, 계수가 다를 때 어느 식에 몇을 곱해야 하는지 결정하지 못한다. 홍제동 중2수학과외에서는 가감법의 순서를 외우게 하기보다 문제마다 달라진 조건 하나를 찾아 풀이가 바뀌는 지점을 확인한다.
같은 가감법이라도 먼저 볼 것은 계수다
예를 들어 다음 연립방정식을 보자.
2x+3y=13
x-3y=-1
y의 계수가 3과 -3으로 반대이므로 두 식을 그대로 더하면 된다. 그러면 3x=12, x=4가 되고, x=4를 두 번째 식에 대입하면 y=5/3이다. 이때 학생이 자주 하는 행동은 두 식을 무조건 빼거나, x의 계수 2와 1을 보고 먼저 x를 없애려는 것이다. 실제로 어느 문자를 없앨지는 계수의 상태에 따라 정해야 한다.
반대로 다음 문제에서는 같은 방식으로 바로 더할 수 없다.
2x+y=7
3x-2y=4
y의 계수가 1과 -2이므로 첫 번째 식 전체에 2를 곱해야 한다.
4x+2y=14
3x-2y=4
이제 두 식을 더해 7x=18, x=18/7을 얻는다. 식 한 부분에만 2를 곱하면 등식의 의미가 달라지므로, 학생이 어떤 식 전체에 배수를 적용했는지 확인해야 한다.
홍제동에서 나타나는 학습 장면
홍제동에는 인왕중학교가 있으며, 가재울중학교·동명여자중학교·명지중학교·서연중학교는 같은 서대문구의 참고 학교로 볼 수 있다. 학교별 출제 경향을 단정하기보다, 실제 통학과 방과후 이동 뒤 남는 자습시간을 고려해 짧은 풀이 점검을 반복하는 방식이 현실적이다. 이동 후 피로한 날에는 오답노트 전체를 다시 펼치기보다 그날 틀린 연립방정식 한 문제에서 계수 조정 부분만 표시한다.
이 학생은 교과서 예제처럼 계수가 바로 소거되는 문제는 빠르게 풀었다. 그러나 학교 프린트에서 다음 문제를 만나자 풀이가 끊겼다.
3x+2y=11
5x-4y=3
학생은 두 식을 그대로 더해 8x-2y=14라고 쓴 뒤, 이것이 새로운 연립방정식의 한 식이라고 생각했다. 또는 첫 번째 식의 2y만 2배로 바꾸어 3x+4y=11이라고 적기도 했다. 이 오답은 단순 계산 실수가 아니다. 소거할 계수를 정하지 않았고, 식 전체에 같은 수를 곱해야 한다는 등식의 성질을 적용하지 못한 경우다.
풀이를 시작하기 전 한 줄을 쓰게 한다
먼저 두 식을 그대로 옮겨 적고 x, y의 계수를 세로로 맞춘다. 그다음 여백에 “y를 없애려면 첫째 식에 2를 곱한다”처럼 선택 이유를 한 줄로 쓴다. 위 문제라면 다음과 같이 진행한다.
첫째 식×2: 6x+4y=22
둘째 식: 5x-4y=3
더하기: 11x=25
x=25/11
이후 x를 첫째 식에 대입한다.
3×25/11+2y=11
2y=46/11
y=23/11
마지막에는 두 값을 원래 두 식에 각각 대입한다. 첫째 식은 75/11+46/11=121/11=11, 둘째 식은 125/11-92/11=33/11=3이므로 해가 확인된다. 답만 적지 않고 원래 식 두 개를 모두 확인해야 배수 처리나 부호 오류를 발견할 수 있다.
오답을 줄이는 실제 훈련
- 문제마다 없앨 문자를 먼저 동그라미 친다.
- 계수가 다르면 최소공배수를 적고, 어느 식 전체에 몇을 곱할지 표시한다.
- 배수 적용 뒤에는 상수항까지 함께 바뀌었는지 확인한다.
- 더할지 뺄지는 소거하려는 계수의 부호를 보고 결정한다.
- 한 문제를 다시 풀 때 숫자만 보지 않고 원래 두 식에 대입해 해를 검산한다.
연립방정식 두 식을 펼쳐 놓고, 계수의 위치를 문자 순서대로 맞추는 것도 도움이 된다. x 계수와 y 계수를 섞어 읽지 않도록 표처럼 정렬한 뒤, 소거된 문자가 실제로 0이 되었는지 중간식에서 확인한다.
같은 문제가 아닌 새 조건으로 확인한다
연습한 문제를 그대로 다시 맞히는 것만으로는 충분하지 않다. 다음에는 부호와 계수를 바꾼 문제를 제시한다.
4x-3y=1
2x+6y=14
첫째 식을 2배하면 8x-6y=2가 되고, 둘째 식과 더해 10x=16, x=8/5를 얻는다. 이를 원래 식에 대입하면 32/5-3y=1이므로 y=9/5이다. 학생이 이번에는 첫째 식의 일부 항만 배수로 바꾸지 않는지, 부호가 다른 항을 소거할 때 더하기와 빼기를 구분하는지, 두 원래 식에 대입하는지 독립적으로 기록한다.
또한 제한 시간 안에 풀이 순서를 유지하는지도 본다. 5분 동안 두 문제를 풀게 한 뒤 답보다 “소거 문자 선택→식 전체 배수→가감→대입→검산”의 흐름이 끊기지 않았는지 확인한다. 이 과정이 안정된 뒤에야 문장제처럼 식을 직접 세워야 하는 문제로 넘어간다.
과외에서 우선 조정하는 범위
중1 내용을 전부 다시 시작하지 않는다. 분배법칙, 음수 계산, 등식의 성질 중 현재 연립방정식 풀이를 막는 부분만 짧게 확인하고 곧바로 중2 문제로 돌아온다. 오답노트도 페이지를 늘리는 대신 ‘계수 선택’, ‘식 전체 배수’, ‘부호’, ‘대입 검산’ 네 칸으로 나누어 같은 원인의 문제를 묶는다.
자주 묻는 질문
가감법에서 항상 x를 먼저 없애야 하나요?
아니다. 계수가 같거나 최소공배수를 만들기 쉬운 문자를 선택하면 된다. 계산이 짧고 부호 확인이 쉬운 쪽을 먼저 본다.
한 식에만 수를 곱해도 되나요?
가능하지만 식 전체에 곱해야 한다. 2x+y=7에서 y에만 2를 곱해 2x+2y=7로 바꾸는 것은 잘못이다. 올바른 식은 4x+2y=14이다.