홍은동 고3 수학과외: 임계점이 바뀐 증가·감소 구간 다시 읽기
홍은동에서 고3 수학을 공부하는 학생은 귀가 시각과 과제량을 고려해 시험 준비 순서를 조정할 필요가 있다. 홍은동의 지역 내 고등학교로는 명지고등학교가 확인되며, 이화여자대학교사범대학부속이화금란고등학교·가재울고등학교 등은 같은 서대문구의 참고 학교로 구분해야 한다.
직전 문제의 부호표를 그대로 옮긴 오답
학생은 다음 함수의 증가와 감소를 구하는 과정에서 임계점만 찾고 도함수의 부호를 다시 확인하지 않았다.
f(x)=x3-3x2-9x+5
f′(x)=3x2-6x-9=3(x-3)(x+1)
임계점은 x=-1, 3이다. 그런데 학생은 왼쪽 여백에 ‘오류 종류: 부호표 재사용’이라고 적지 않고, 직전 문제의 패턴을 따라 다음과 같이 썼다.
f′(x)의 부호: +, −, +가 아니라 −, +, −이므로
증가: −1<x<3, 감소: x<−1 또는 x>3
이 답은 틀렸다. 인수의 계수 3은 양수이고, x=-2를 대입하면 f′(-2)=3(-5)(-1)=15>0이다. 따라서 x<−1에서 증가해야 한다. 또 x=0에서는 f′(0)=3(-3)(1)=-9<0이므로 −1<x<3에서는 감소한다.
조건과 변수 관계를 다시 확인한 수정 과정
학생은 틀린 부호표에 표시한 뒤, 임계점의 순서와 각 구간의 대표값을 따로 적었다.
- x<−1: 대표값 x=-2, f′(-2)=15>0
- −1<x<3: 대표값 x=0, f′(0)=-9<0
- x>3: 대표값 x=4, f′(4)=15>0
따라서 정확한 결론은 다음과 같다.
증가 구간: (-∞,-1), (3,∞)
감소 구간: (-1,3)
끝점 조건이 함께 주어져 구간이 −2≤x≤4라면, 전체 구간의 결론을 그대로 쓰지 않고 범위를 잘라야 한다.
증가 구간: [-2,-1], [3,4]
감소 구간: [-1,3]
학생은 f′(-2)=15, f′(0)=-9, f′(4)=15를 다시 대입하고, 그래프가 x=-1에서 증가에서 감소로, x=3에서 감소에서 증가로 바뀌는지 확인했다.
계수와 부호를 바꾼 독립 검증
같은 문제를 반복하지 않고 다음 함수로 검증했다.
g(x)=-2x3+6x2+24x-7, -2≤x≤4
g′(x)=-6x2+12x+24=-6(x-4)(x+1)
- −2≤x<−1: x=-2를 대입하면 g′(-2)=-36<0
- −1<x<4: x=0을 대입하면 g′(0)=24>0
- x=4에서는 g′(4)=0
따라서 g(x)는 [-2,-1]에서 감소하고 [-1,4]에서 증가한다. 이전 문제의 +,−,+ 패턴을 복사하지 않고, 바뀐 계수와 임계점의 위치를 다시 계산해 답을 완성한 것이다.
홍은동고3수학과외 학습에서는 임계점만 표시하는 데서 끝내지 않고, 각 구간의 대표값 대입과 끝점 조건 확인까지 해야 표현이 달라진 변형 그래프 문제에도 같은 원리를 정확히 적용할 수 있다.