홍은동고2수학과외

홍은동고2수학과외, 지수부등식에서 치환한 값의 범위까지 확인하기

홍은동의 명지고등학교 고2 수학 학습에서는 학교 과제와 지필평가 준비가 겹칠 때 풀이 과정을 짧게 줄이려는 장면이 자주 나타날 수 있다. 홍은현대아파트 등 생활권에서 귀가한 뒤 문제를 풀 때도 답만 빠르게 정리하기보다, 치환한 문자가 실제로 가질 수 있는 범위를 끝까지 확인해야 한다. 같은 서대문구의 이화여자대학교사범대학부속이화금란고등학교, 가재울고등학교, 중앙여자고등학교, 인창고등학교는 참고 학교이며 홍은동 소재 학교와는 구분된다.

t=2^x로 바꾼 뒤 음수 구간을 지워야 하는 이유

다음 지수부등식을 살펴보자.

2^2x - 3·2^x - 4 ≤ 0

학생의 풀이에는 다음과 같은 흐름이 나타났다.

t=2^x라 두면
t²-3t-4≤0
(t-4)(t+1)≤0
따라서 -1≤t≤4

이차부등식만 보면 -1≤t≤4가 맞다. 그러나 t=2^x이므로 모든 실수 x에 대해 t>0이다. 따라서 이차부등식의 해와 치환된 값의 범위를 교집합으로 묶어야 한다.

-1≤t≤4와 t>0의 교집합은 0<t≤4이다. 이제 2^x≤4=2²이고 밑 2는 1보다 크므로 부등호 방향이 그대로 유지되어 x≤2를 얻는다.

계산된 구간과 실제 치환 범위를 분리해서 적기

이 장면에서 막힌 지점은 인수분해가 아니라, 이차부등식에서 나온 t의 해를 곧바로 2^x의 값으로 받아들인 데 있다. 음수인 t=-1이나 t=-0.5는 이차부등식에는 들어갈 수 있어도 2^x가 될 수 없다.

따라서 답안에는 다음 두 줄을 남기는 훈련이 필요하다.

t=2^x>0
(t-4)(t+1)≤0 → -1≤t≤4
교집합: 0<t≤4

계수와 부호가 달라졌을 때도 같은 판단이 유지되는지 확인하기 위해 다음 문제를 바로 적용한다.

2^2x+2·2^x-8>0

t=2^x>0으로 두면

t²+2t-8>0
(t+4)(t-2)>0

이차부등식의 해는 t<-4 또는 t>2이다. 여기에 t>0을 함께 적용하면 t>2만 남는다. 따라서 2^x>2이므로 x>1이다. t<-4를 답에 넣지 않은 이유를 말로 설명하고, 치환 범위를 식 위에 먼저 적는 것이 수정된 풀이 행동이다.

밑과 계수가 모두 바뀐 문제에서 다시 확인하기

마지막으로 밑을 3으로 바꾼 문제를 제시한다.

3^2x-4·3^x+3≥0

t=3^x>0으로 두면

t²-4t+3≥0
(t-1)(t-3)≥0

따라서 t≤1 또는 t≥3이지만, t>0 조건을 함께 써야 한다. 즉 0<t≤1 또는 t≥3이다. 밑 3이 1보다 크므로

0<3^x≤1 → x≤0
3^x≥3 → x≥1

최종 해는 x≤0 또는 x≥1이다. 이 문제에서 t≤0을 포함하지 않고, 두 구간을 모두 기록했다면 숫자와 계수가 바뀌어도 ‘이차부등식의 해’와 ‘지수식으로 가능한 값의 범위’를 교집합으로 처리하는 판단이 이어진 것이다.