성포동고2수학과외

성포동고2수학과외: k+1에서 먼저 확인해야 할 목표식

귀가 후 학교 프린트의 수학적 귀납법 문제를 풀던 과정에서, 학생의 답안에는 계산은 이어져 있었지만 여백에 k+1일 때 증명해야 할 식이 적혀 있지 않았다. 수학적 귀납법에서는 계산 속도보다 가정과 목표의 연결을 먼저 확인해야 한다.

좌변 계산보다 먼저 써야 하는 k+1의 목표

다음 명제를 증명한다고 하자.

명제 P(n): 1+2+3+···+n = n(n+1)/2

첫째 단계에서는 n=1을 확인한다.

1 = 1×2/2

이후 n=k에서 성립한다고 가정하면

1+2+···+k = k(k+1)/2

이다. 여기서 k+1 단계의 목표는 좌변을 무작정 계산하는 것이 아니라 다음 식 전체를 성립시키는 것이다.

1+2+···+k+(k+1) = (k+1)(k+2)/2

학생은 이 목표를 쓰지 않고 곧바로

1+2+···+k+(k+1) = k(k+1)/2+(k+1)

까지만 계산한 뒤, 마지막 식이 무엇이어야 하는지 확인하지 않았다. 위 변형 자체는 귀납법의 가정을 적용한 것이므로 맞지만, 목표식이 빠지면 계산 결과가 실제로 필요한 식과 같은지 판단할 기준이 사라진다.

가정의 적용 조건을 표시한 뒤 식을 변형하기

답안에는 다음처럼 목표와 가정의 사용 위치를 나란히 남기는 편이 안전하다.

목표: 1+2+···+k+(k+1) = (k+1)(k+2)/2

귀납 가정에 의해

1+2+···+k+(k+1)
= k(k+1)/2+(k+1)
= (k+1)(k/2+1)
= (k+1)(k+2)/2

따라서 k+1에서도 명제가 성립한다. 이때 확인할 항목은 새로운 공식을 찾는 것이 아니라, k에서 성립한다고 가정한 식을 k+1 목표의 앞부분에 정확히 적용했는가이다.

풀이 중 목표식이 빠진 흔적이 보이면 조건, 부호, 범위, 공식 가운데 해당 오류 유형 하나만 표시하고 그 항목을 다시 점검한다. 이 문제에서는 새로운 범위를 추측할 필요 없이, 귀납 가정의 범위가 k≥1이고 k+1≥2라는 점과 목표의 우변이 (k+1)(k+2)/2인지 확인하면 된다.

홀수의 합으로 바꾸어도 같은 판단을 유지하는가

학교 과제의 숫자와 식을 바꾼 다음 문제를 별도로 풀어 보며 확인할 수 있다.

1+3+5+···+(2n-1)=n²임을 수학적 귀납법으로 증명하라.

이때 k+1 단계에서 먼저 적어야 할 목표는

1+3+···+(2k-1)+(2k+1)=(k+1)²

이다. 귀납 가정

1+3+···+(2k-1)=k²

을 사용하면

k²+(2k+1)=(k+1)²

가 된다. 새로운 문제에서도 학생이 목표식을 먼저 적고, 귀납 가정을 어느 부분에 적용했는지 표시했다면 k+1에서의 판단이 재현된 것이다. 성포주공4단지 생활권에서 귀가 후 과제와 시험 준비를 함께 진행할 때도, 한 문제를 마친 뒤 정답만 확인하지 말고 이 두 줄이 답안에 남아 있는지 점검하는 것이 중요하다.