성포동고1수학과외, ‘모든’ 명제에서 반례를 고르는 조건
성포동에서 학교 과제와 시험 준비를 함께 점검할 때, 명제의 참·거짓을 판단하는 문제는 결론만 맞히는 것보다 반례의 조건을 정확히 확인하는 과정이 중요하다. 성포고등학교 프린트의 명제를 풀다가 학생이 반례를 적었지만, 그 값이 애초의 가정을 만족하지 않는 경우가 있었다.
가정을 통과하지 못한 값은 반례가 될 수 없다
다음 명제를 보자.
모든 정수 n에 대하여, n이 홀수이면 n²＋1은 4의 배수이다.
학생은 여백에 n＝2를 적고 다음과 같이 판단했다.
“2²＋1＝5이므로 4의 배수가 아니다. 따라서 명제는 거짓이다.”
계산 결과만 보면 결론은 깨졌지만, n＝2는 홀수가 아니다. 즉 명제의 가정인 ‘n이 홀수’에 들어가지 않으므로 반례로 사용할 수 없다. 반례는 결론만 거짓으로 만드는 값이 아니라, 가정을 만족하면서 결론을 거짓으로 만드는 값이어야 한다.
실제 반례는 가정 확인 뒤에 찾는다
홀수인 정수 중 n＝1을 대입하면
1²＋1＝2
이고 2는 4의 배수가 아니다. n＝1은 홀수라는 가정을 만족하면서 결론을 깨뜨리므로 이 명제의 반례다. 따라서 “모든 정수 n에 대하여……”라는 명제는 거짓이다.
이때 풀이 여백에는 다음 두 줄이 남아 있어야 한다.
- 가정 확인: n＝1은 홀수이다.
- 결론 확인: n²＋1＝2는 4의 배수가 아니다.
학생의 현재 상태는 반례의 계산 자체를 못 하는 것이 아니라, 반례 후보를 고른 뒤 가정과 결론을 분리해 점검하는 절차가 빠진 상태로 볼 수 있다.
반례 후보를 표처럼 걸러 내기
후보를 고를 때는 숫자를 먼저 대입하지 말고 두 칸으로 나누어 기록한다.
- 가정: 후보가 홀수 정수인가?
- 결론: 후보를 대입한 값이 4의 배수가 아닌가?
n＝2는 첫 번째 칸에서 탈락한다. n＝1은 첫 번째 칸을 통과하고, 두 번째 칸에서도 2가 4의 배수가 아니므로 반례가 된다. 이 방식은 ‘모든’이라는 표현을 보았을 때 무작정 결론을 깨뜨리는 수를 찾는 습관을 고치는 데 직접 연결된다.
수치를 바꾼 문항에서 스스로 확인하기
같은 명제를 그대로 반복하지 않고 다음 문항을 제시한다.
모든 홀수 정수 n에 대하여 n²＋5는 4의 배수이다.
학생이 먼저 확인할 것은 반례 후보가 홀수 정수인지 여부다. n＝3을 선택하면 가정을 만족하고,
3²＋5＝14
이므로 4의 배수가 아니다. 따라서 n＝3은 반례가 된다. 반대로 짝수인 n＝4를 제시했다면 4²＋5＝21이라는 계산이 맞더라도 가정을 만족하지 않아 반례가 아니다.
이 검증에서는 답을 기억했는지가 아니라, 후보의 가정 확인과 결론 계산을 각각 설명하는지를 본다. 특히 ‘이항’ 같은 말에 기대지 않고, 명제에서는 조건을 먼저 확인한 뒤 결론을 판정해야 한다는 관계를 말로 나타내는지 기록한다.
귀가 후 짧은 기록으로 남길 판단
성포주공4단지 등 생활권에서 귀가한 뒤 과제량이 많은 날에는 긴 복습보다 명제 하나의 풀이 흔적을 점검할 수 있다. 중2 과정으로 넘어가기 전에는 중1에서 배운 조건과 결론의 구분을 아직 설명하지 못하는지, 또는 반례 후보의 가정 확인만 빠지는지를 구별해 기록한다. 반례를 찾았다는 결과보다 “가정을 만족한다”와 “결론을 깨뜨린다”를 각각 근거와 함께 적었는지가 확인 기준이다.