분당구중3수학과외, 연속된 각의 추론을 변형 문제에서도 이어 가는 연습
학생이 도형 문제에서 적어 둔 답은 다음과 같았다.
∠A=50°이므로 ∠B=50°, ∠C=180°-50°=130°
답만 보면 계산은 맞아 보이지만, 왜 ∠B가 50°인지 설명이 빠져 있었다. 실제로는 평행선 표시를 확인하고, 엇각 또는 동위각 관계를 먼저 밝혀야 한다. 각의 크기를 연달아 구하는 문제에서 학생이 자주 멈추는 지점은 계산이 아니라 ‘어떤 관계를 다음 단계의 근거로 사용할 것인가’를 정하는 순간이다.
첫 번째 각을 바로 옮기기 전에 평행선 표시부터 확인한다
예를 들어 직선 l과 m이 평행하고, 한 직선이 두 평행선을 가로지르며 ∠A=50°라고 하자. ∠B가 ∠A와 엇각이라면 두 각의 크기는 같으므로 ∠B=50°이다. 그러나 그림에서 ∠B가 ∠A와 이웃한 일직선 위의 각이라면 관계가 달라진다. 이때는
∠B=180°-50°=130°
으로 계산해야 한다. 학생은 그림에서 비슷한 위치에 있는 각을 무조건 같다고 판단했지만, 수정할 때는 각의 위치가 아니라 두 직선의 관계와 각의 배치를 말로 확인하게 했다.
“이 두 각은 같은 방향처럼 보여서 같아”라고 말하는 대신, “l∥m이고 두 각은 엇각이므로 같다”라고 적는 방식이다. 이 한 문장이 있어야 다음 각을 구할 때 앞에서 얻은 값을 근거로 사용할 수 있다.
한 번 구한 각을 다음 계산의 조건으로 연결하기
삼각형 ABC에서 외각과 내각이 함께 제시된 문제를 살펴보자. ∠A=50°, 꼭짓점 C의 외각이 120°라면 먼저 같은 직선 위의 두 각을 이용하여
∠C=180°-120°=60°
을 구한다. 이후 삼각형의 내각의 합을 적용하면
∠B=180°-50°-60°=70°
이 된다. 학생이 처음 쓴 풀이에서는 외각 120°를 그대로 삼각형의 내각으로 넣어 ∠B를 10°로 계산했다. 틀린 줄만 지우게 하지 않고, 외각에 표시를 하고 그 옆에 ‘내각과 일직선’이라고 적은 뒤, 180°에서 빼는 과정을 다시 작성했다.
이 과정에서 중요한 것은 공식을 많이 외우는 것이 아니다. 현재 구한 60°가 다음 단계에서 사용될 수 있도록 각의 이름을 유지하는 것이다. ‘∠C=60°’라고만 쓰는 것보다 ‘삼각형 ABC의 내각 ∠C=60°’라고 표시하면 외각과 내각을 혼동할 가능성이 줄어든다.
두 풀이가 모두 숫자를 내놓아도 근거는 다르다
비슷한 문제에서 학생들이 보이는 오류는 두 가지로 나뉜다. 한 학생은 평행선 조건을 읽지 않고 닮은 위치의 각을 같다고 적는다. 다른 학생은 평행선 관계는 찾지만, 이웃한 각의 합이 180°라는 사실을 빠뜨린다. 두 풀이 모두 숫자가 우연히 맞을 수 있지만, 도형을 회전하거나 구하는 각의 위치를 바꾸면 바로 막힌다.
따라서 풀이 옆에 다음 세 가지 표시를 남기게 한다.
- 같은 크기인 각에는 엇각, 동위각, 맞꼭지각 중 해당 관계를 적는다.
- 한 직선 위의 이웃한 각에는 합이 180°임을 표시한다.
- 삼각형 안의 세 각을 구할 때는 내각의 합 180°를 마지막 근거로 적는다.
이 표시들은 풀이를 길게 만들기 위한 것이 아니다. 다음 단계로 넘어갈 때 어떤 성질을 꺼냈는지 확인하는 장치다. 서현동이나 수내동처럼 생활권이 다른 학생이라도 실제 일정은 학교별 시험 범위와 수행평가 날짜에 따라 달라질 수 있으므로, 한 번에 여러 유형을 섞기보다 학교 프린트에서 막힌 도형의 추론 줄만 골라 짧게 수정하는 편이 효율적이다. 구미중학교, 낙원중학교, 내정중학교, 늘푸른중학교, 매송중학교, 백현중학교는 대표 학교 자료로 확인된 범위이며, 분당구의 모든 학생이 같은 통학권이나 동일한 시험 일정을 가진다고 보기는 어렵다. 평일 귀가 시간이 늦은 경우에는 한 문항의 첫 관계를 설명하고 다음 날 변형 문제로 이어 가는 식으로 계획을 조정할 수 있다.
그림을 돌리고 구하는 대상을 바꾸어도 첫 행동은 같은가
다음 검증 문제에서는 앞의 도형을 그대로 보여 주지 않았다. 평행한 두 직선을 세로로 배치하고, 가로지르는 직선을 기울여 놓은 뒤, 주어진 각을 130°로 바꾸었다. 구하는 각은 처음 문제의 ∠B와 같은 위치가 아니라 그 옆의 각으로 설정했다.
학생은 처음에 130°를 그대로 옮기려다가 멈췄다. 이후 평행선 표시를 찾고, 주어진 각과 구하는 각이 일직선 위의 이웃한 각임을 확인하여
구하는 각 = 180°-130°=50°
이라고 해결했다. 이어서 삼각형 안에 들어 있는 각 하나를 70°로 제시하고 나머지 각을 묻자, 앞에서 구한 50°를 잊지 않고
180°-50°-70°=60°
으로 계산했다. 같은 도형의 답을 기억한 것이 아니라, ‘표시 확인 → 각의 관계 설명 → 필요한 경우 180° 적용 → 다음 각에 대입’이라는 행동을 새 배치에서 다시 꺼낸 것이다.
마지막에는 숫자를 지운 도형을 주고 학생이 풀이 순서를 말하게 했다. 학생은 “먼저 평행선과 직선 표시를 보고, 같은 각인지 보충각인지 정한 다음, 삼각형의 내각 합을 사용하겠다”고 설명했다. 연속적인 각 추론은 한 줄씩 계산하는 문제가 아니라, 매 단계의 결과가 다음 단계의 근거가 되도록 연결하는 학습이다.