분당구중2수학과외, 사각형의 조건과 결론을 거꾸로 확인하는 공부
중2 도형 문제에서 학생이 막히는 지점은 그림을 못 그리는 데만 있지 않다. 주어진 조건에서 결론으로 가는 명제와, 결론을 다시 조건으로 바꾼 역이 모두 성립하는지 구분하지 못하는 경우가 많다. 학원 선행 진도에서는 정리를 빠르게 외우지만, 학교 프린트나 서술형에서는 “왜 평행사변형인지”를 써야 하므로 현행 오답이 다음 주로 밀리기 쉽다.
분당구에는 구미중학교, 낙원중학교, 내정중학교, 늘푸른중학교, 매송중학교, 백현중학교 등이 있으며, 학생의 실제 학교와 시험 범위는 각각 확인해야 한다. 구미동·백현동·분당동·삼평동·서현동·수내동처럼 생활권과 귀가 시간이 다를 수 있으므로, 특정 학교의 출제 경향을 일반화하기보다 학교별 시험 범위와 수행평가 일정을 먼저 놓고 계획을 조정하는 방식이 안전하다.
그림보다 먼저 명제를 두 줄로 나누기
예를 들어 사각형 ABCD에서 AB와 CD가 평행하고 길이도 같다는 조건이 주어졌다고 하자. 이때 학생이 써야 할 핵심은 “한 쌍의 대변이 평행하고 그 길이가 같으므로 평행사변형이다”이다. 여기서 평행사변형이 된 뒤에는 AD∥BC, AB=CD와 같은 성질을 사용할 수 있다.
하지만 “한 쌍의 대변이 평행하면 평행사변형이다”라고 바꾸면 틀린다. 사다리꼴도 한 쌍의 대변이 평행할 수 있기 때문이다. 조건 하나를 빼거나 결론의 일부만 보고 역을 만들면 안 된다. 학생에게는 문제의 문장을 다음처럼 나누어 읽게 한다.
- 주어진 것: AB∥CD, AB=CD
- 보일 것: ABCD가 평행사변형
- 성립한 뒤 사용할 것: AD∥BC, 대변의 길이 관계, 대각선의 교점 성질
실제 오답은 ‘실수’가 아니라 조건 누락에서 나온다
한 학생은 선행 교재의 평행사변형 단원을 빠르게 따라가면서 학교 문제를 미뤘다. 시험 전 풀이에서 “AB∥CD이므로 평행사변형”이라고 적었고, AB=CD라는 조건은 표시하지 않았다. 답은 맞아 보였지만 근거가 부족한 서술형 답안이었다.
다른 문제에서는 “평행사변형이면 대각선의 길이가 같다”고 적었다. 대각선이 서로 이등분하는 것은 평행사변형의 성질이지만, 대각선의 길이가 같은 것은 일반적인 평행사변형 전체의 성질이 아니다. 직사각형에서 성립하는 성질을 평행사변형에 넓혀 적용한 개념 오류였다.
풀이 뒤에는 오답 원인을 네 가지로 나누어 적는다. 조건을 빠뜨렸는지, 평행선과 길이 표시를 잘못 읽었는지, 평행사변형과 직사각형의 성질을 섞었는지, 아니면 근거 문장을 쓰지 않았는지를 구분한다. 이렇게 해야 모든 문제를 계산 실수로 처리하지 않게 된다.
피곤한 날에도 가능한 도형 훈련
귀가가 늦은 날에는 새 고난도 문제를 늘리지 않고, 한 장의 그림에 조건과 결론을 서로 다른 기호로 표시한다. 평행은 화살표, 같은 길이는 같은 눈금, 직각은 작은 사각형으로 표시한다. 그다음 명제를 두 문장으로 쓴다. “조건이면 결론”을 먼저 쓰고, “결론이면 조건”이 정말 맞는지 반례를 떠올린다.
예를 들어 “ABCD가 평행사변형이면 AB∥CD이다”는 성립한다. 반대로 “AB∥CD이면 ABCD가 평행사변형이다”는 부족하다. 이때 한 쌍의 평행선만 있는 사다리꼴을 그려 역이 거짓임을 확인한다. 반면 “AB∥CD이고 AB=CD이면 ABCD는 평행사변형”은 사용할 수 있는 판정 조건이다.
서술형에서는 결론만 쓰지 않고 근거를 한 줄씩 연결한다. “AB∥CD이고 AB=CD이므로 한 쌍의 대변이 평행하고 그 길이가 같은 사각형이다. 따라서 ABCD는 평행사변형이다.”처럼 조건의 개수와 결론에 필요한 정리를 맞춘다.
다음 주에 확인할 독립 문제
같은 그림을 다시 풀게 하지 않는다. 처음에는 AB와 CD를 사용했다면, 다음에는 BC∥AD와 BC=AD가 주어진 그림으로 바꾼다. 또 조건을 “두 대각선이 서로 이등분한다”로 바꾸어 평행사변형 판정 조건을 적용하게 한다. 숫자를 계산하는 문제가 아니므로 그림의 위치를 바꾸고, 문장의 순서도 뒤집어 제시한다.
검증할 때는 세 가지를 본다. 첫째, 평행 표시와 길이 표시를 빠뜨리지 않는가. 둘째, 평행사변형의 성질과 직사각형의 성질을 구별하는가. 셋째, 결론만 쓰지 않고 어떤 판정 조건을 사용했는지 말하는가. 제한 시간 5분 안에 그림 표시, 명제 구분, 근거 작성까지 끝내면 현행 시험에 적용할 준비가 된 것으로 본다.
분당구중2수학과외에서 조정하는 학습 순서
과외에서는 학원 진도를 무조건 중단시키기보다 학교 시험 범위 안에서 미완료 오답을 먼저 닫는다. 평일 귀가 시간이 긴 날에는 15분 동안 조건 표시와 역의 성립 여부만 훈련하고, 시간이 확보되는 날에는 서술형 답안을 완성한다. 시험 직전에는 새 자료를 추가하기보다 학교 프린트에서 조건을 하나씩 가린 뒤 어떤 정보가 결론에 필요한지 다시 찾는다.
학생이 혼자 질문을 만들 수 있게 되면 “이 조건 하나만으로 충분한가?”, “결론의 성질을 판정 조건으로 써도 되는가?”, “직사각형에서만 가능한 성질을 평행사변형에 사용하지 않았는가?”를 풀이 옆에 적게 한다. 이 질문이 생기면 선행 속도보다 현재 문제를 검증하는 힘이 앞서기 시작한다.
자주 묻는 내용
- 한 쌍의 대변이 평행하면 항상 평행사변형인가요?
아니다. 사다리꼴도 한 쌍의 대변이 평행할 수 있어 추가 조건이 필요하다. - 평행사변형의 대각선 길이는 항상 같은가요?
아니다. 대각선은 서로 이등분하지만 길이가 같은 성질은 일반적으로 직사각형에서 다룬다. - 도형 오답을 줄이려면 문제 수를 늘려야 하나요?
조건 표시, 판정 조건 확인, 역의 반례 찾기, 서술형 근거 작성이 끝난 뒤 독립 문제로 확인하는 것이 먼저다.