서현동 고3 수학과외에서 확인한 정규근사 오답의 첫 어긋남
서현동에는 2025년 주소 기준 서현고등학교와 양영디지털고등학교가 있고, 같은 분당구의 태원고등학교·분당대진고등학교·낙생고등학교는 참고 학교로 구분된다. 학교별 내신 운영과 학생의 주간 일정이 다른 만큼, 이번 학습에서는 특정 학군의 성향보다 한 학생의 오답표 작성 과정을 중심으로 확인했다.
표의 숫자보다 먼저 확인해야 할 출발식
학생은 X~B(180, 0.35)에서 58≤X≤70일 확률을 정규분포로 근사하는 문제를 풀었다. 먼저
np=180×0.35=63, npq=180×0.35×0.65=40.95
이므로 평균은 63, 표준편차는 √40.95≈6.40이다. 또한 np=63, npq=40.95가 충분히 커 정규근사를 적용할 수 있다.
학생의 오답: P(58≤X≤70)≈P(58≤Y≤70)에서
z1=(58−63)÷40.95, z2=(70−63)÷40.95로 계산하고 표에서 약 0.70을 얻었다.
이 식은 틀렸다. 40.95는 분산이므로 표준화의 분모에는 분산이 아니라 √40.95인 표준편차가 들어가야 한다. 또한 이산확률을 연속확률로 바꿀 때 경계에 연속성 보정을 적용해야 하므로 58과 70을 그대로 쓰면 안 된다.
틀린 줄에 표시하고 식을 역으로 복원하기
- ① 틀린 줄 표시: z의 분모에 40.95를 쓴 부분에 × 표시를 했다.
- ② 관계 확인: 분산은 npq, 표준편차는 √npq이며, 정수 구간은 57.5≤Y≤70.5로 바뀐다는 점을 원 안에 적었다.
- ③ 식 수정: z1=(57.5−63)/√40.95≈−0.86, z2=(70.5−63)/√40.95≈1.17로 고쳤다.
- ④ 표와 그래프 대조: 표에서 Φ(1.17)=0.8790, Φ(−0.86)=0.1949이므로 0.8790−0.1949=0.6841이다. 평균 63을 기준으로 왼쪽 57.5와 오른쪽 70.5가 모두 표시된 그래프와도 방향이 일치한다.
- ⑤ 역계산: z=−0.86이면 원래 경계는 63−0.86×6.40≈57.5, z=1.17이면 63+1.17×6.40≈70.5가 되어 출발 구간을 복원할 수 있다.
학생은 이전에는 오답표에 정답만 다시 표시했지만, 이번에는 오류가 분산과 표준편차를 혼동한 지점임을 한 문장으로 남겼다. 계산 결과만 맞추는 대신 식, 표, 그래프가 같은 구간을 가리키는지 확인하는 방식으로 수정 순서를 바꾸었다.
구간을 바꾼 독립 검증
같은 문제를 반복하지 않고 X~B(240, 0.25)에서 55≤X≤66을 검증했다.
np=60, npq=240×0.25×0.75=45이므로 정규근사가 가능하고, 평균과 표준편차는 각각 60, √45≈6.71이다. 연속성 보정을 하면 54.5≤Y≤66.5이므로
z1=(54.5−60)/√45≈−0.82, z2=(66.5−60)/√45≈0.97
이다. 따라서 표에서 Φ(0.97)−Φ(−0.82)=0.8340−0.2061=0.6279로 계산한다. 학생은 이번에는 먼저 np와 npq를 확인하고, 구간을 바꾼 뒤에도 평균·표준편차·연속성 보정·표의 뺄셈이 같은 순서로 이어지는지 재현했다.