서현동고1수학과외, 일부 그래프에서 원의 중심과 반지름 찾기
서현고등학교나 양영디지털고등학교의 학교 프린트처럼 그래프의 원 전체가 제시되지 않고 일부 호만 보이는 문제에서는 눈에 보이는 곡선만 따라가면 안 된다. 서현동고1수학과외 학습에서는 먼저 중심과 반지름을 추정한 뒤, 원의 방정식에 대입해 검산하는 과정을 풀이에 남기는 것이 중요하다.
오른쪽의 25를 반지름으로 옮긴 오답
그래프에서 원의 일부가 보이고, 중심이 대략 (2, -1)에 있으며 원 위의 점으로 (5, 3)을 읽었다고 하자. 두 점의 가로·세로 차이는 각각 3, 4이므로 반지름은
r = √{(5-2)² + {3-(-1)}²} = √(9+16) = 5
이다. 따라서 원의 방정식은
(x-2)² + (y+1)² = 25
가 된다. 그런데 풀이 과정에서 학생이 오른쪽의 25를 보고 “r=25”라고 적었다. 이는 원의 방정식에서 우변이 r²이라는 관계를 놓친 것이다. 25는 반지름이 아니라 반지름의 제곱이며, 실제 반지름은 √25=5이다.
그래프가 잘린 경우에도 먼저 남겨야 할 한 줄
이 학생은 풀이 시작 전에 ‘원의 일부만 보이는 그래프에서 중심과 반지름 추정 후 식 검산’이라는 판단을 적지 않았고, 틀린 줄을 고친 뒤에도 같은 판단을 다시 기록하지 않았다. 그래서 중심을 읽은 뒤 반지름을 계산하는 과정과 식의 우변을 해석하는 과정이 분리되지 않았다.
풀이 전에는 “그래프에서 중심과 원 위의 점을 추정하고, 거리로 r을 구한 뒤 식을 대입해 확인한다.”라고 적는다. 위 문제에서는 중심을 (2, -1), 원 위의 점을 (5, 3)으로 읽고 거리 5를 구한다. 이후 (5, 3)을 식에 넣으면
(5-2)² + {3-(-1)}² = 3²+4² = 25
가 되어 우변 25와 일치한다. 풀이가 끝난 뒤에는 “중심·반지름 추정 후 식 검산 완료”라고 다시 확인한다. 이때 반지름을 25로 적었다면 거리 계산 결과 5와 맞지 않으므로 오류가 난 정확한 줄은 r=25라고 쓴 줄이다.
식의 모양만 보고 중심을 확정하지 않기
원의 표준형은 (x-a)²+(y-b)²=r²이고 중심은 (a,b), 반지름은 r이다. 따라서 (x-2)²+(y+1)²=25에서는 y항의 부호를 바꾸어 중심을 (2, -1)로 읽고, 우변 25의 제곱근을 취해 반지름 5를 얻는다.
그래프의 일부만 보일 때에는 중심을 눈대중으로 정한 뒤 끝내지 않는다. 읽은 중심과 원 위의 점 사이의 거리가 식에서 얻은 r과 같은지 확인해야 한다. 이 문제에서는 3-4-5 관계가 나타나므로 반지름 5라는 판단을 직접 검증할 수 있다.
조건을 바꾼 식에서 오류 줄을 찾아내기
일주일 뒤에는 그래프 대신 다음 식을 제시해 같은 판단을 확인한다.
x²+y²-6x+4y-12=0
학생이 다음과 같이 정리했다고 하자.
x²-6x + y²+4y = 12
(x-3)² + (y+2)² = 12
오류가 난 정확한 줄은 두 번째 줄이다. 좌변에 제곱을 완성하면서 생긴 9와 4를 우변에도 더해야 하므로 정확한 식은
(x²-6x+9)+(y²+4y+4)=12+9+4
즉,
(x-3)²+(y+2)²=25
이다. 중심은 (3, -2), 반지름은 5가 된다. 이 과정에서 x²과 x, y²과 y는 문자 부분이 다르므로 동류항이 아니다. 숫자의 모양이 비슷한지가 아니라 문자 부분과 지수가 같은지를 기준으로 묶어야 한다. 학생이 이 기준을 설명하고, 오류 줄을 ‘우변을 12로 둔 줄’이라고 정확히 지목하면 새로운 조건에서도 수정 행동을 적용한 것으로 본다.
학교 일정 속에서 확인할 풀이 기록
서현동 내 학교와 같은 분당구의 태원고등학교, 분당대진고등학교, 낙생고등학교는 서로 다른 학교이므로 내신 일정과 프린트 구성이 같다고 단정할 수 없다. 학교별 지필평가나 수행평가가 겹치는 주간에는 긴 문제 풀이보다, 그래프 일부에서 읽은 중심·반지름과 검산식을 짧게 남기는 방식으로 확인할 수 있다.
마지막 기록에 “오류 줄: r=25. 수정: r=√25=5. 검산: (5-2)²+{3-(-1)}²=25”가 모두 포함되는지 살핀다. 정답만 고친 것이 아니라, 원의 일부를 보고 추정한 값이 방정식과 맞는지 스스로 확인했는지가 판단 기준이다.