삼평동중3수학과외, 숨은 지름과 같은 호를 찾아 원주각 조건 읽기
학생은 원 안의 두 각이 같아 보인다는 이유만으로 곧바로 “∠ABC=∠CDA”라고 적었다. 그림에는 원주 위의 점 A, B, C, D가 놓여 있었지만 두 각이 실제로 같은 호를 보는지 확인하지 않은 상태였다. 반대로 지름이 표시된 문제에서는 “지름이 있으니 모든 각이 90°”라고 판단해, 지름의 양 끝점과 각의 꼭짓점이 어떻게 연결되는지 살피지 않았다.
계산보다 먼저 확인할 것은 각의 꼭짓점과 끝점이다
원주각을 판단할 때는 각의 크기를 추측하거나 그림의 모양을 재지 않는다. 먼저 각의 꼭짓점이 원 위에 있는지 확인하고, 그 각의 두 변이 원과 만나는 끝점을 찾는다. ∠ABC라면 꼭짓점은 B이고 양 끝점은 A와 C다. 따라서 이 각이 보는 호는 A와 C를 양 끝으로 하는 호이다. ∠ADC도 끝점이 A와 C이므로, 두 꼭짓점 B와 D가 같은 쪽 호에 있지 않다는 조건을 확인하면 두 원주각은 같은 호 AC를 본다.
학생의 첫 풀이에서는 이 과정을 생략한 채 “모양이 비슷하다”를 근거로 삼았다. 수정할 때는 문제의 각마다 작은 표시를 했다. 꼭짓점에는 동그라미를 치고, 두 변의 끝점은 각각 같은 기호로 연결했다. ∠ABC와 ∠ADC에는 모두 A와 C를 적어 같은 호를 보는지 비교했다. 이제 답을 적기 전에 “두 각의 끝점이 같은가?”라고 스스로 묻게 했다.
숨은 지름은 선분의 길이가 아니라 직각 조건으로 읽는다
지름이 문제에 직접 ‘지름’이라고 쓰이지 않는 경우도 있다. 원의 중심 O가 표시되고 A, O, C가 한 직선 위에 있다면 AC는 지름이다. 또는 중심을 지나 원 위의 두 점을 잇는 선분이 있다면 그 선분을 지름으로 판단할 수 있다. 이때 중요한 결론은 지름 AC를 보는 원주각 ∠ABC가 90°라는 점이다. 각의 꼭짓점 B가 원 위에 있어야 하며, 지름의 양 끝점 A와 C를 두 변이 연결해야 한다.
학생은 다음 그림 조건에서 A-O-C가 일직선이고 A, B, C가 원 위에 있을 때 ∠ABC를 180°로 적었다. 반원 모양의 호 AC가 180°이므로 각도도 180°라고 생각한 것이다. 여기서 호의 중심각과 원주각을 구분하도록 풀이를 바꾸었다. 호 AC에 대응하는 중심각 ∠AOC는 180°이지만, 같은 호를 보는 원주각 ∠ABC는 그 절반인 90°다.
중심각은 호의 크기와 같고, 같은 호를 보는 원주각은 중심각의 절반이다. 특히 지름을 보는 원주각은 항상 90°다.
같은 호인지 확인한 뒤에만 각의 관계를 쓴다
예를 들어 원 위에 A, B, C, D가 있고 AC가 지름이라고 하자. B와 D가 원주 위의 점이라면 ∠ABC와 ∠ADC는 모두 지름 AC를 본다. 따라서 각각 90°이고, 두 각이 같다는 사실도 함께 얻을 수 있다. 하지만 ∠ABD와 ∠ACD를 비교할 때는 끝점이 각각 A-D와 C-D로 달라진다. 단지 두 각이 그림에서 비슷한 위치에 있다는 이유로 같다고 쓰면 안 된다.
학생에게는 풀이를 세 줄로 고정하지 않고, 그림의 조건에 맞는 확인 문장을 먼저 쓰게 했다.
- 각의 꼭짓점이 원주 위에 있는가?
- 두 변의 끝점은 어느 두 점인가?
- 그 두 점을 잇는 선분이 지름인가, 두 각이 같은 호를 보는가?
- 사용한 조건이 중심각인지 원주각인지 구분했는가?
그 뒤에야 “AC는 지름이므로 ∠ABC=90°”, “∠ABC와 ∠ADC는 같은 호 AC를 보므로 서로 같다”처럼 근거를 붙였다. 정답 숫자만 맞히는 것이 아니라, 어떤 조건에서 그 숫자가 나왔는지 말할 수 있게 하는 과정이다.
그림을 회전해도 끝점은 바뀌지 않는다
다음 연습에서는 이전 그림의 위치를 바꾸었다. 지름 AC를 위아래 방향으로 놓고, 점 B를 왼쪽에 배치했다. 학생은 처음에 그림이 달라졌다는 이유로 ∠ABC가 예각인지 둔각인지부터 판단하려 했다. 그러나 선분 AC가 중심을 지나고 B가 원 위에 있다는 사실을 다시 표시하자, 위치와 관계없이 ∠ABC=90°라고 결정했다.
또 다른 문제에서는 ∠AXC와 ∠AYC를 비교하되 X와 Y가 같은 호 AC의 반대쪽에 놓였다. 학생은 두 각을 무조건 같다고 적지 않고, 각각이 가로채는 호를 그림에 표시했다. 같은 두 끝점을 사용하더라도 꼭짓점의 위치와 선택한 호를 확인해야 한다는 점을 적용한 것이다. 문제에서 “같은 호”라는 표현이 직접 나오지 않아도, 각의 양변이 만나는 원주점부터 추적하면 조건을 찾아낼 수 있었다.
삼평동의 생활 리듬에 맞춘 원주각 점검
삼평동에서 삼평중학교에 다니는 학생이라도 학교와 주거지 사이 이동 시간, 방과 후 일정에 따라 실제로 집중할 수 있는 시간이 다르다. 같은 분당구의 구미중학교·낙원중학교·내정중학교·늘푸른중학교는 참고할 수 있는 학교이지만 삼평동 소재 학교로 단정할 수 없다. 학교별 자료를 섞기보다 학생이 문제를 풀 때 남기는 표시와 말로 현재 상태를 확인하는 편이 정확하다.
이동이 긴 학생은 한 번에 많은 원주각 문제를 풀기보다 한 문항에서 ‘지름의 양 끝점’, ‘각의 꼭짓점’, ‘같은 호의 끝점’ 세 가지만 표시한 뒤 풀이를 사진이나 짧은 기록으로 남길 수 있다. 집에 돌아온 뒤 시간이 비교적 안정적인 학생은 같은 조건의 그림을 회전하거나 점의 위치를 바꾼 문제까지 이어서 독립 검증한다. 지역 안에서도 생활 리듬이 같지 않으므로 문제 수보다 조건을 읽고 근거를 남기는 단위를 조절한다.
새 숫자가 아니라 새 배치에서 확인한 적용
마지막에는 AC 대신 BD가 지름인 그림을 제시하고, 원주 위의 점 P와 Q를 서로 다른 위치에 배치했다. 학생은 이전에 외운 “∠ABC=90°”를 반복하지 않고, 먼저 B와 D가 지름의 끝점인지 확인했다. 이어 ∠BPD와 ∠BQD의 양변 끝점이 모두 B와 D임을 찾아 두 각이 각각 90°라고 설명했다.
이번에는 한 각의 꼭짓점을 원의 중심 O로 바꾸었다. 학생은 ∠BOD는 중심각이고 ∠BPD는 원주각이므로 같은 호 BD를 보더라도 관계가 다르다고 구분했다. BD가 지름이면 ∠BOD=180°, ∠BPD=90°이며, 두 값을 같다고 쓰지 않았다. 새로운 배치에서 첫 행동인 ‘꼭짓점과 끝점 표시’를 도움 없이 꺼냈다면, 정답을 기억한 것이 아니라 원주각의 적용 조건을 사용한 것으로 판단할 수 있다.