삼평동중2수학과외, 경우의 수에서 중복과 누락을 줄이는 서술형 훈련
경우의 수 문제는 답만 맞히는 것보다 어떤 대상을 어떤 기준으로 나누었는지가 중요하다. 삼평동 중2 학생 중에는 문제에 제시된 숫자를 모두 식에 넣으려다가 실제로 필요한 조건과 장식처럼 붙은 조건을 구분하지 못하는 경우가 있다. 반대로 가능한 경우를 빠르게 적다가 같은 경우를 두 번 세거나 하나를 빠뜨리기도 한다.
특히 학교 프린트와 문제집의 서술형 문제를 비교할 때 계산 결과는 맞는데 “어떤 기준으로 나누었는가”, “왜 더하거나 곱했는가”를 문장으로 설명하지 않는 모습이 나타난다. 이런 답안은 정답 숫자만 확인하면 지나가기 쉽지만, 조건이 바뀐 새 문제에서는 같은 오류가 다시 드러난다.
숫자를 모두 사용하는 것이 풀이가 되지는 않는다
예를 들어 남학생 3명과 여학생 2명 중에서 대표 1명을 뽑는 문제라면 전체 학생 수 5명만 사용하면 된다. 여기서 좌석 번호나 문제에 붙은 다른 수치를 모두 끌어와 식에 넣으면 오히려 조건을 잘못 해석할 수 있다. 경우의 수에서는 숫자의 크기보다 “무엇을 선택하는가”, “순서를 구분하는가”, “동시에 선택하는가”를 먼저 확인해야 한다.
학생은 흔히 가능한 경우를 나열하면서 첫 번째 선택과 두 번째 선택의 기준을 바꾼다. A를 고른 뒤 B를 고른 경우와 B를 고른 뒤 A를 고른 경우를 서로 다른 것으로 세었다가, 다른 줄에서는 같은 경우로 처리하는 식이다. 이는 계산 실수라기보다 순서 구분 기준이 풀이 중간에 바뀐 경우다.
삼평동 학생의 실제 오답 장면
한 학생은 “1, 2, 3, 4 중 서로 다른 두 수를 골라 두 자리 수를 만든다”는 문제에서 첫 자리를 1로 정한 경우를 3개, 첫 자리를 2로 정한 경우를 3개씩 적었다. 그러나 마지막에 12와 21을 같은 경우처럼 취급해 답을 줄였다. 처음에는 순서를 구분했고 끝에서는 구분하지 않은 것이다.
또 다른 서술형 답안에는 “4×3=12”만 쓰여 있었다. 계산은 맞지만 첫 자리 선택 4가지와 둘째 자리 선택 3가지를 곱한 이유가 없다. 학교 프린트에서는 정답으로 인정될 수 있어도, 조건이 “두 수의 합이 홀수”처럼 바뀌면 어떤 수를 먼저 분류해야 하는지 설명하지 못한다.
경우의 수 오답은 ‘틀림’으로만 적지 않고, 중복인지 누락인지, 순서 기준 변경인지, 조건을 빠뜨린 것인지 구분해야 다음 풀이가 달라진다.
답안을 네 칸으로 나누어 고친다
서술형 답안은 문제의 조건, 분류 기준, 계산식, 결론으로 나누어 작성한다. 먼저 문제에 나온 조건 중 실제로 세는 대상과 제외할 대상을 표시한다. 숫자를 모두 식에 넣기 전에 “이 숫자가 선택 수인가, 제한 조건인가”를 옆에 짧게 적는다.
- 선택 대상과 제외 조건에 밑줄을 긋는다.
- 순서를 구분하는지 문장으로 먼저 쓴다.
- 경우를 나눌 때 기준을 한 가지로 고정한다.
- 곱셈을 사용하면 각 단계의 선택 수를 문장으로 설명한다.
- 더하기를 사용하면 서로 겹치지 않는 경우인지 확인한다.
- 마지막에 목록이나 표를 보고 중복과 누락을 표시한다.
예를 들어 두 자리 수 만들기에서는 “십의 자리 선택 4가지, 일의 자리 선택은 이미 사용한 수를 제외한 3가지이므로 4×3=12가지이다”라고 쓴다. 조건이 붙으면 먼저 조건을 만족하는 수를 분류한 뒤 각 분류 안에서 선택 수를 센다. 답을 적은 뒤에는 같은 대상을 다른 순서로 세고 있지 않은지 확인한다.
피곤한 날에는 분량보다 첫 접근을 본다
삼평동 안에서도 학교와 주거지 사이의 이동 거리, 학원이나 가정 일정에 따라 공부 가능한 시간이 다를 수 있다. 삼평중학교 학생이라도 평일 귀가 시간이 일정한 학생과 늦은 시간에야 책상에 앉는 학생에게 같은 문제 수를 요구하면 후반부에서 조건 표시가 생략될 수 있다. 같은 분당구의 구미중학교, 낙원중학교, 내정중학교, 늘푸른중학교는 참고 학교일 뿐 삼평동 소재 학교로 단정하지 않으며, 학교별 출제 경향도 임의로 판단하지 않는다.
시간이 부족한 날에는 여러 장을 끝내는 대신 새로운 경우의 수 한 문제에서 조건 표시와 분류 기준을 먼저 적게 한다. 정답 횟수가 아니라 새 조건을 읽었을 때 첫 접근에서 기준을 세우는지를 학습 종료 기준으로 삼는다. 중3 진입 전에는 중2 전체를 다시 훑기보다, 현재 경우의 수 문제를 막는 순서 구분과 조건 분류만 짧게 확인하고 곧바로 문제로 돌아간다.
새 숫자와 새 조건으로 독립 검증
같은 문제를 다시 풀어 맞힌 것만으로는 충분하지 않다. 1, 2, 3, 4 대신 0, 2, 5, 7을 사용하고, 두 자리 수의 첫 자리에는 0을 사용할 수 없다는 조건을 넣어 새 문제를 제시한다. 학생이 먼저 조건을 표시하고, 십의 자리와 일의 자리의 선택 수를 분리해 설명하는지 확인한다.
다음에는 “두 수의 합이 짝수” 또는 “만든 수가 50보다 크다”처럼 조건을 바꾼다. 이때 이전 식을 그대로 옮기지 않고 짝수·홀수 분류나 첫 자리 조건을 새로 세우는지 본다. 시간 제한 안에서 중복된 목록을 지우고 빠진 경우를 다시 찾는지도 확인한다. 식·조건·분류 근거·결론이 모두 남고, 새로운 조건에서도 첫 접근이 정확하다면 해당 오류를 종료한 것으로 기록한다.
삼평동중2수학과외에서 확인하는 질문
- 경우를 나눈 기준은 무엇인가?
- 두 경우가 서로 겹치지 않는가?
- 문제의 숫자 중 실제 선택 수와 제한 조건을 구분했는가?
- 곱셈이나 덧셈을 사용한 이유를 문장으로 설명했는가?
경우의 수는 많은 문제를 빠르게 푸는 단원이라기보다, 같은 대상을 한 번만 세는 기준을 세우는 단원이다. 삼평동중2수학과외에서는 학생의 생활 리듬에 맞춰 분량을 조절하되, 새 조건에서도 중복·누락 없이 풀이 기준을 설명하는지를 중심으로 학습을 확인한다.