백현동 고3 수학과외, 표준화 이후 구간확률을 다시 확인하는 풀이
백현동의 보평고등학교와 성남외국어고등학교를 비롯해 같은 분당구의 태원고등학교, 분당대진고등학교, 낙생고등학교에 다니는 고3 학생들은 학교별 내신 일정과 주간 학습 시간이 다를 수 있다. 이 학생은 채점 후 정답 숫자만 옮기지 않고, 표준화 식이 처음 달라진 줄과 구간의 양 끝이 실제로 포함되는지를 확인하는 연습을 진행했다.
표준화 식에서 처음 어긋난 지점
어떤 시험 점수 X가 평균 70, 표준편차 10인 정규분포를 따른다고 하자.
X ~ N(70, 10²)
구간확률 P(58 < X < 78)을 구할 때는 양 끝을 각각 표준화해야 한다.
z₁ = (58 - 70) / 10 = -1.2
z₂ = (78 - 70) / 10 = 0.8
따라서 구해야 할 값은 P(-1.2 < Z < 0.8)이다. 표에서 누적확률을 읽으면
Φ(0.8) = 0.7881, Φ(-1.2) = 0.1151
이므로
P(-1.2 < Z < 0.8) = 0.7881 - 0.1151 = 0.6730
구간확률은 오른쪽 누적확률에서 왼쪽 누적확률을 빼야 한다.
학생의 오답과 경계 확인
학생은 다음과 같이 계산했다.
0.7881 + 0.1151 = 0.9032
이 식은 오답이다. 왼쪽 경계가 -1.2이므로 그 왼쪽 꼬리의 확률 0.1151은 구간 안에 포함되지 않는다. 그런데 이를 더하면 구간 밖의 값까지 포함하게 된다. 표에서 숫자를 옮기는 순간에는 맞는 누적확률을 찾았지만, 두 확률의 관계를 구간으로 연결하지 못한 것이다.
답안 오른쪽에 다음처럼 허용 범위를 먼저 적는다.
허용 범위: -1.2 < Z < 0.8
수직선에는 -1.2와 0.8을 표시하고 두 경계 사이만 색칠한다. 이어서 경계값을 대입해 확인한다.
- Z = -1.2는 구간의 왼쪽 경계이다.
- Z = 0.8은 구간의 오른쪽 경계이다.
- 예를 들어 Z = -1.5와 Z = 1.1은 구간 밖이므로 확률에 포함되지 않는다.
따라서 왼쪽 바깥 영역을 빼는 형태인 0.7881 - 0.1151이 조건에 맞는다. 계산 결과 0.6730은 0과 1 사이이고, 구간의 길이가 표준정규분포 전체의 대부분은 아니므로 0.9032보다도 자연스럽다.
대칭구간에서의 독립 검증
같은 방법을 반복하지 않기 위해 평균과 표준편차를 바꾸어 확인한다. 이번에는
Y ~ N(50, 8²)
일 때 P(42 ≤ Y ≤ 58)을 구한다.
표준화하면
P((42-50)/8 ≤ Z ≤ (58-50)/8)
즉,
P(-1 ≤ Z ≤ 1)
이다. 표준정규분포는 0을 기준으로 대칭이므로 좌우 꼬리확률은 각각 같다.
P(-1 ≤ Z ≤ 1) = Φ(1) - Φ(-1) = 0.8413 - 0.1587 = 0.6826
따라서 대칭구간에서 왼쪽과 오른쪽 확률을 다르게 적은 답은 조건과 맞지 않는다. 좌우가 같은 거리만큼 떨어져 있는지 먼저 확인하고, 비대칭 구간이라면 각 경계를 따로 표준화한 뒤 오른쪽 누적확률에서 왼쪽 누적확률을 빼는 기준을 유지한다.
이 과정을 통해 학생은 정답 숫자만 기록하는 대신, 표준화된 경계와 허용 범위를 표시하고 후보값을 대입해 구간 안팎을 역검산하는 방식으로 풀이를 수정했다.