백현동고1수학과외: 원과 직선의 접점을 판별식 0으로 확인하기
백현동의 보평고등학교나 성남외국어고등학교에서 학교 프린트와 교과서 문제를 함께 정리할 때, 원과 직선의 접점 문제는 최종 답보다 그 답이 나온 근거를 남기는 습관이 중요하다. 같은 분당구의 태원고등학교, 분당대진고등학교, 낙생고등학교는 참고 학교일 뿐 백현동 소재 학교와 동일하게 볼 수 없으며, 학교별 주간 일정에 따라 풀이 기록을 점검할 시간을 다르게 배치할 수 있다.
접점이라는 말을 식의 중근으로 바꾸는 과정
원 (x-1)²+(y-1)²=25와 직선 3x+4y-32=0을 보자. 직선을 y에 대하여 정리하면
y=(32-3x)/4
이 식을 원에 대입하면
(x-1)²+((32-3x)/4-1)²=25
즉,
(x-1)²+((28-3x)/4)²=25
양변에 16을 곱해 정리하면
16(x²-2x+1)+(3x-28)²=400
16x²-32x+16+9x²-168x+784=400
따라서 25x²-200x+400=0이고, 이를 25로 나누면 x²-8x+16=0, 즉 (x-4)²=0이다. x에 대한 이차방정식이 중근을 가지므로 판별식은 Δ=(-8)²-4·1·16=0이다. 이때 원과 직선의 교점의 x좌표가 하나뿐이므로 직선은 원에 접한다.
답란에 결과식만 남은 이유
관찰된 답안에는 계산 결과인 Δ=0만 적혀 있고, 원에 직선의 식을 대입해 이차방정식을 만든 과정과 판별식 0의 의미가 연결되어 있지 않았다. 이는 접점 조건을 판별식으로 판정하는 개념을 전혀 모른다기보다, ‘접한다’는 기하적 조건을 ‘교점 방정식이 중근을 갖는다’는 대수적 조건으로 번역하는 단계가 빠진 상태다.
직선과 원의 교점은 대입으로 이차방정식이 되고, 접점일 때 두 교점이 하나로 겹치므로 그 이차방정식의 판별식이 0이다.
이 문장을 먼저 말한 뒤 계산을 시작하게 하면 정답만 수정하는 풀이와 근거가 있는 풀이를 구별할 수 있다.
계산 전에 말로 연결하고 식으로 옮기기
훈련할 때는 답을 구하기 전에 다음 순서를 소리 내어 설명한다.
- 직선의 식을 원의 식에 대입한다.
- 교점의 x좌표를 결정하는 이차방정식을 얻는다.
- 접점이면 교점 두 개가 하나로 겹치므로 판별식이 0이어야 한다.
- 실제로 계산한 판별식이 0인지 확인한다.
위 예에서는 x²-8x+16=0을 얻은 뒤, Δ=64-64=0이라고 적는다. 이어 x=4를 직선에 대입하면 3·4+4y-32=0이므로 y=5이다. 접점은 (4,5)이며, 원에도 대입하면 (4-1)²+(5-1)²=9+16=25로 확인된다.
조건을 바꾼 문제에서 첫 판단 확인하기
검증에서는 같은 식을 다시 쓰지 않고 직선의 상수를 바꾼다. 원은 그대로 두고 직선을 3x+4y-27=0으로 바꾸면, 중심 (1,1)에서 직선까지의 거리는
|3+4-27|/√(3²+4²)=20/5=4
이고 원의 반지름은 5이므로 두 점에서 만난다. 따라서 이 경우에는 판별식이 0이 아니라 양수가 되어야 한다. 학생이 문제를 읽고 먼저 ‘직선을 대입해 얻은 이차방정식의 판별식을 확인한다’고 스스로 정하는지, 그리고 접점이 아닌 경우에는 Δ>0으로 판단을 바꾸는지를 관찰한다.
수학과 무관한 전개도 조건은 별도로 분리하기
전개도의 면 배치를 바꾼 문제를 함께 제시해야 하는 일정이라면 원과 직선 문제의 검증으로 섞지 않는다. 전개도에서는 면의 공유 변과 접히는 순서를 먼저 읽고, 누가 순서를 알려주지 않아도 현행과 선행의 순서를 스스로 조정하는지 별도로 기록한다. 원과 직선 문제에서는 그에 대응하는 첫 행동이 ‘직선의 식을 원의 식에 대입해 판별식을 세우는 것’이다.