부천 고3 수학과외, 분산 계산 전 평균과 확률조건부터 확인하기
송내동·소사본동에서 방과 후 이동 시간을 고려해 자습 시간을 정한 학생은 수업 초반 분산 문제에서 계산을 서둘렀다. 부천고등학교, 부천여자고등학교, 소사고등학교 등 학교가 여러 생활권에 나뉘어 있는 만큼, 이동 뒤 짧은 시간에도 풀이의 첫 조건을 확인하는 습관이 중요했다.
평균을 빼고 제곱해야 하는 이유
확률변수 \(X\)가 다음 분포를 따른다고 하자.
- \(P(X=1)=0.2\)
- \(P(X=2)=0.5\)
- \(P(X=4)=0.3\)
먼저 확률의 합은 \(0.2+0.5+0.3=1\)이므로 분포 조건은 성립한다.
평균은
\(E(X)=1(0.2)+2(0.5)+4(0.3)=2.3\)
이고, 제곱의 평균은
\(E(X^2)=1^2(0.2)+2^2(0.5)+4^2(0.3)=7\)
이다. 따라서 분산은
\(V(X)=E(X^2)-\{E(X)\}^2=7-(2.3)^2=1.71\)
표준편차는 \(\sqrt{1.71}\)이다.
학생의 오답을 계산 줄에서 바로 수정하기
학생 오답: \(V(X)=E(X^2)-E(X)=7-2.3=4.7\)
이 식은 틀린 식이다. \(E(X)\)는 평균이므로 한 번 더 제곱해야 한다. 분산의 정의인 \(E[(X-E(X))^2]\)를 전개하면 \(E(X^2)-\{E(X)\}^2\)가 되기 때문이다.
- 틀린 줄 표시: \(7-2.3\)에서 평균의 제곱이 빠짐
- 관계 확인: \(E(X)=2.3\), \(E(X^2)=7\)이며 두 값의 역할이 다름
- 식 수정: \(V(X)=7-(2.3)^2=1.71\)
- 대입 검산: \(0.2(1-2.3)^2+0.5(2-2.3)^2+0.3(4-2.3)^2=1.71\)
또한 분산은 항상 0 이상이어야 하므로, 수정된 \(1.71\)은 조건에도 맞는다. 문제에서 \(E(X)\)와 \(E(X^2)\)가 모두 주어졌다면 분산을 구하기에 충분하지만, 평균만 주어진 경우에는 \(E(X^2)\)를 알 수 없어 분산을 확정할 수 없다.
조건을 바꾼 독립 검증
새로운 확률변수 \(Y\)가
- \(P(Y=-1)=0.2\)
- \(P(Y=2)=0.3\)
- \(P(Y=5)=0.5\)
를 만족한다고 하자. 확률의 합은 1이다.
\(E(Y)=(-1)(0.2)+2(0.3)+5(0.5)=3.3\)
\(E(Y^2)=1(0.2)+4(0.3)+25(0.5)=13.9\)
이므로
\(V(Y)=13.9-(3.3)^2=3.01\)
이다. 직접 계산하면 \(0.2(-1-3.3)^2+0.3(2-3.3)^2+0.5(5-3.3)^2=3.01\)이므로, 평균을 먼저 구하고 반드시 제곱하는 절차가 맞는지 확인할 수 있다.